توان صفر، فاکتوریل صفر و تقسیم صفر

1- صفر چیه؟ آیا صفر وجود خارجی داره؟ مگه صفر معادل با مفهوم "هیچی" نیست؟ خب "هیچی" که وجود نداره؟ پس صفر هم وجود نداره؟ خب شما خلأ رو در نظر بگیرید. خلأ به جایی میگن که درش هیچی وجود نداره، نه ماده و نه انرژی. اما به هر حال ما یه تعریفی برای خلأ ارایه می کنیم و میگیم فضای بین ستاره ها و سیارات از خلأ تشکیل شده. در مورد صفر هم همینطوره. ما به "صفر" به عنوان یه عضو خنثی در جمع نگاه میکنیم همون طور که مثلا به "یک" به عنوان عضو خنثی در ضرب نگاه میکنیم. در حقیقت در ریاضیات صفر مرز بین اعداد مثبت و منفیه و خواص جالبی داره و من هم در این متن قصد دارم به این خواص جالب بپردازم.

 

2- شاید برای خیلی ها عدد به توان صفر معنا نداشته باشن و واسشون سوال باشه که چرا یه عدد به توان صفر مساوی با یک میشه. اثبات خیلی ساده و سرراسته. بوضوح an=an-1*a خب حالا فرض کنید n=1. در نتیجه a1=a0*a یعنی اینکه a0=1. یه راه دیگه:

a0 = ab-b =ab / ab=(a*a*a*....*a) / (a*a*a*...*a) =1

 

3- شاید فکر کنید اثبات اینکه 0!=1 سخت تر باشه اما باز هم بوضوح n!=n*(n-1)!. باز فرض کنید n=1. در نتیجه 1!=1*0! پس 0!=1. یه اثبات مشابه:

(n-1)!=n!/n

3! =4!/4

2! =3!/3

1! =2!/2

0! =1!/1=1

 

4- اما چرا هر عدد تقسیم بر صفر میشه بی نهایت؟ اصلا این بی نهایت چی هست؟ بی نهایت که اون رو در این متن با inf نشون میدیم (مخفف infinity) یک مفهوم ریاضیه که شاید بطور شهودی خیلی قابل لمس نباشه. بی نهایت یه مفهوم ریاضیه که انتها نداره، در واقع یه کمیت بی کران. وقتی با اعداد سر و کار داریم بی نهایت عددیه که از هر عدد دیگری بزرگتره. البته شما هر عدد به من بدین من یکی بزرگتر از اون به شما نشون میدم ولی خب، در ریاضیات مفهوم بی نهایت تعریف میشه تا با کمک اون بشه یه سری اصول و قواعد ریاضی برپا کرد. مثل همین مساله ی تقسیم بر صفر.  روند زیر رو در نظر بگیرید:

1/1=1

1/10=0.1

1/100=0.01

1/1000=0.0001

...

1/1000..0=0.000...01

1/inf=0

حالا همین روند رو بر عکس طی می کنیم:

1/1=1

1/0.1=10

1/0.01=100

1/0.001=1000

...

1/0.000...01=1000...0

1/0=inf

 

5- در این متن اثبات ساده ی چند مساله ساده ی ریاضی رو دیدید که در ظاهر شاید خیلی هم پیچیده به نظر بیان. خیلی از مفاهیم دیگر ریاضی هم همینطور هستند، یعنی در ظاهر سخت و نامفهوم به نظر میان اما اگه درست بیان بشن و درست باهاشون برخورد کنیم می بینیم که خیلی هم ساده و جالب هستند. مفاهیمی مثل صفر یا بی نهایت اگرچه غیرملموس و غیرواقعی به نظر میرسن ولی با نگاهی دقیق تر به محیط دور و برمون می بینیم که چه ابزار مفیدی در درک دنیای واقعی هستند. فقط کافیه کمی دیدمون رو نسبت به ریاضی عوض کنیم.

 

/ 23 نظر / 488 بازدید
نمایش نظرات قبلی
فرامرز

سلام خواستم بپرسم x/0 مختلط هست یا نه؟ اگر هست به صورت a+ib در بیارید دقت کنید خیلی ها همون اول میگن مختلط هست ولی وقتی میگم a,b هر دو باید خقیقی باشند میگن مختلط نیست لطفا اگر جواب دادید حتما خبر بدید سوالات دیگه ای هم دارم مثلا Arcsin2 مختلط هست یا نه؟ ایمیل:faramarz.frm@gmail.com

علیرضا

ممنونم واسه کمکتون

معصومه

سلام.همیشه آدما از دیدن در واقع آشنا شدن با افرادی که باهاشون هم نظر هستن خوشحال میشن.منم الان همین حس رو دارم.ارشد ریاضی ام و سعی میکنم مثل شما ریاضی رو با ساده ترین بیان به دانش آموزام یاد بدم و همیشه رسالتم ایجاد علاقه به ریاضی در بچه ها بوده.شاد و پیروز باشین

سرباز امام زمان

سلام اقای دکتر دقیقااین سوال همین امروز برایم تداعی شد . و با اولین سرچ به توضیحات بسیار جالب و زیبای شما رسیدم و کاملا تفهیم شدم . از جنابعالی بدلیل ارسال پست بسیار زیبایتان سپاس گذارم و آرزوی توفیق روز افزون برایتان دارم.

احسان

دکتر جان سلام و ممنون، ما هم در حد فهم خودمون فهمیدیم ولی این سادگی که شما می گین به این راحتی ها هم بدت نمی یاد، باید یه راه طولانی مثل شما رو طی کرد باز هم سپاس

فرنود

سلام سعيد خان. من در جريان مرور رياضيات از روي كتاب هايي در حد دبيرستان، با اين پرسش روبرو شدم كه چرا عدد به نماي صفر، مساوي است با يك و راه اثبات آن چيست؟ به هر دري زدم، به من گفتند تعريف است. تقريبا دچار كلافگي شده بودم كه به جستجوي گوگل مراجعه كردم و صفحه شما رو باز كردم. راه حلي كه شما اين جا نقل كرديد خيلي جالب بود. جالب تر اين كه شما از راه ضرب توان ها به تقسيم آن رسيديد و مسئله را حل كرديد. خواهشم اين است كه در پاسخ گفتن به سوالهاي ساده اي از اين دست، حتما به اين نكته توجه داشته باشيد كه در اين قبيل پرسش‌ها مخاطبان شما مانند من اغلب كساني هستند كه به توضيحات ابتدايي تر و روشن تري نياز دارند. از توجه شما سپاسگزارم.

شقایق

نخونده خوب بود

صنم

سلام دکتر جان اگه یکم توضیحاتت واضح تر میگفتی بهتر بود ولی من نفهمیدن چرا یک عدد به توان صفر می شود یک چرا تقسیم میکنیم خیلی دنبالش گشتم ولی اونی که میخواستم ژیدا نکردم

زمانی پور(دانشجوی ارشدکاربردی درایران)

عالللللللللی بود افای دکتر مرسییییییی

بهار

سلام مطلب خوبی بود مخصوصا برای ما عاشقای دل خسته ی ریاضی یه سوال داشتم آیا جمع منفی بینهایت و مثبت بی نهایت صفر نمیشه؟ و یه سوال دیگه آیا مجموع مربعات منفی بینهایت و مثبت بی نهایت برابر منفی بینهایت میشه؟ اگر جواب دادید بسیار ممنون بابت پست زیباتون و جواب ها و اگر جواب ندادی و تشکر مضاعف برای پست مفیدتون