تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

تاریخچه اعداد در ریاضی

اعداد طبیعی
استخوان ها و تکه چوبهایی بسیار قدیمی یافت شده که روی آنها شیارهایی وجود دارد. دانشمندان معتقدند این شیارها نماد نخستین استفاده ی بشر از اعداد هستند و میتواند نشانگر تعداد روزهای سپری شده یا تعداد دام های بشر اولیه باشد. این سیستم نمایش اعداد که "سیستم چوب خط" نامیده می شود (مثل خطوطی که زندانیان در فیلم ها برای روزهای سپری شده در زندان روی دیوار می کشند) نشانگر اعداد طبیعیست ({۱و۲و۳و...}). سیستم چوب خط دارای مفهوم "ارزش مکانی" نیست (مثل جایگاه دهگان، صدگان، هزارگان در سیستم با مبنای ده) و به همین خاطر دارای محدودیت نمایش اعداد بزرگ است. با این وجود سیستم چوب خط به عنوان قدیمی ترین سیستم نمایش اعداد شناخته می شوند. قدیمی ترین سیستم نمایش اعداد که دارای مفهوم ارزش مکانیست، سیستم نمایش اعداد با مبنای شصت است که به بابلیان در 3400 سال قبل از میلاد برمی گردد. همچنین قدیمی ترین سیستم نمایش اعداد با مبنای ده (مثل اعداد امروزی) به مصریان در 3100 سال قبل از میلاد باز می گردد.

اعداد حسابی
اعداد حسابی همان مجوعه ی اعداد طبیعی به اضافه ی عدد صفر است ({۰و۱و۲و...}) در نتیجه تاریخچه اعداد حسابی در واقع همان تاریخچه ی عدد صفر می باشد. اولین استفاده از صفر به عنوان عدد به استفاده از آن در "سیستم نمایش اعداد با ارزش مکانی" به عنوان "مکان نگه دار" برمی گردد. مثلا در سیستم با مبنای ده، تفاوت عدد یک با عدد ده تنها در یک صفر است. در واقع عدد صفر اینجا نقش مکان نگه دار را دارد یعنی مکان یکان را برای عدد ده نگه داشته است تا عدد یک نقش دهگان را داشته باشد. بابلیان، مصریان و هندیان در متون خود از عدد صفر استفاده کرده اند. همچنین اسناد بجا مانده نشان می دهد که مایاها (قوم مایا در قاره امریکا) نیز از عدد صفر استفاده می کردهداند. یونانیان باستان در مورد استفاده از صفر به عنوان یک عدد دچار شک بوده اند. آنها از خود می پرسیده اند "چگونه هیچ چیز می تواند چیزی باشد؟" که منظور از "هیچ چیز" همان صفر به مفهوم هیچ، عدم وجود یا خلا است. این سوال بحث های فلسفی جالبی را در آن زمان به راه انداخت.

اعداد صحیح
برای بررسی تارخچه اعداد صحیح ({...و-۲و-۱و۰و۱و۲و...}) باید به تاریخچه اعداد منفی بپردازیم. نخستین ظهور اعداد منفی در ریاضی به پنجاه تا صد سال قبل از میلاد و سرزمین چین باز می گردد. در کتاب "نه فصل درباره ی هنر ریاضی" که جزو قدیمی ترین کتب چینی در زمینه ی ریاضیات است از اعداد منفی در محاسبه ی مساحت شکل های هندسی استفاده شده. "دیوفانت اسکندرانی" ریاضیدان یونانی اولین دانشمند غربی بود که در فرن سوم میلادی و در حل معادلات درجه یک، به اعداد منفی برخورد کرد اما آن را غیرمعقول و مضحک توصیف کرد. هندی ها در قرن ششم از اعداد منفی برای نمایش بدهی استفاده می کردند. همچنین دانشمند هندی "براهما گوپتا" در سال 628 در کتاب خود از اعداد منفی در نمایش ریشه های معادله ی درجه دو استفاده می کند. فرمولی که او بکار برد امروزه نیز بکار می رود. اروپاییان تا قرن هفدهم غالبا در برابر استفاده از اعداد منفی مقاومت میکردند و جواب های منفی معادلات را نادیده می گرفتند و آن را بی معنی تعبیر می کردند (هرچند "فیبوناچی" در قرن سیزدهم جواب های منفی را در مساله های مالی پذیرفته می دانست و آن را به عنوان بدهی تعبیر می کرد). در قرن هجدهم "رنه دکارت" از اعداد منفی در نمایش "دستگاه مختصات دکارتی" استفاده کرد.

اعداد گویا
احتمالا مفهوم اعداد گویا ({p/q بطوریکه p,q اعداد طبیعی باشند}) یا اعداد کسری به زمان بسیار قدیم بازمی گردد. مصریان قدیم از "کسرهای مصری" برای نمایش اعداد گویا در متون ریاضی خود استفاده کرده اند. دانشمندان یونانی و هندی نیز مطالعاتی را بر روی اعداد گویا به عنوان زیرشاخه ای از "نظریه اعداد" انجام اده اند که شناخته شده ترین این مطالعات به اقلیدس در 300 سال پیش از میلاد باز می گردد.

اعداد گنگ
اعداد حقیقی ای که گویا نباشند گنگ نامیده می شوند. نخستین استفاده از اعداد گنگ در متون هندی (هشتصد تا پانصد سال قبل از میلاد) دیده میشود اما نخستین اثبات وجود اعداد گنگ به "فیثاغوریان" منتصب است. فیثاغورثیان، پیروان و شاگردان فیثاغورث فیلسوف و ریاضیدان یونانی بودند که توانستند اثباتی هندسی برای وجود عدد گنگ ۲√ ارائه کنند. نقل است که در رقابت های علمی که در آن زمان بین گروه های مختلف در جریان بود این عدد نقش برگ برنده را برای فیثاغورثیان بازی کرد. آنان تلاش کردند تا این عدد را بصورت کسری نمایش دهند اما موفق نشدند (امکان نمایش کسری عدد گنگ وجود ندارد چه در غیر اینصورت آن عدد گویا خواهد بود نه گنگ). عدد گنگ ۲√ یک "عدد جبری" است (عدد جبری عددیست که ریشه ی یک چند جمله ای یک متغیره با ضرایب گویا باشد). اعداد غیر جبری را "اعداد متعالی" می نامند. اگر خود را به مجموعه ی اعداد حقیقی محدود کنیم اعداد متعالی زیر مجموعه ی اعداد گنگ هستند و مهمترین آنان "عدد نپر" و "عدد پی" است. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان(3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین عدد نپر به منتصب به "جان نپر" دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است که در قرن شانزدهم و هفدهم می زیست. برای مطالعه ی بیشتر در مورد اعداد گنگ به اینجا مراجعه کنید.

اعداد مختلط

مفهوم اعداد مختلط رابطه ی مستقیمی با ریشه ی یک اعداد منفی دارد. نخستین برخورد با ریشه ی یک عدد منفی برمی گردد به قرن اول میلادی جایی که دانشمند یونانی "هرون اسکندریه" مشغول محاسبه ی حجم "هرم ناقص" بود. همچنین همانطور که در مبحث اعداد منفی گفته شد "براهما گوپتا" دانشمند هندی فرمولی برای ریشه های معادله ی مرتبه دو ارائه کرد که او نیز در آنجا با ریشه ی اعداد منفی روبرو شد. این موضوع بعدها در قرن شانزدهم یعنی زمانی که دانشمندان اروپایی به دنبال یافتن فرمول های مشخص برای نمایش ریشه های معادلات مرتبه سه و چهار بودند برجسته تر شد. این مساله زمانی بغرنج تر می شد که به یاد بیاوریم که در آن زمان اروپاییان اعداد منفی را هم نادیده می گرفتند چه برسد به ریشه ی اعداد منفی!!! در سال 1637 "رنه دکارت" واژه ی موهومی را به این اعداد نسبت داد. بعدها در قرن هجدهم "آبراهام دمویر" و "لئونارد اویلر" فرمول های برای اعداد مختلط ارائه دادند. وجود اعداد مختلط بطور کامل پذیرفته نشده بود تا اینکه در سال 1799 "کاسپر وسل" تعبیری هندسی برای اعداد مختلط ارائه کرد. در همین سال "کارل فردریش گاوس" اثبات یکی از مهمترین قضایای ریاضی یعنی "قضیه اساسی جبر" را ارائه کرد که نشان می دهد هر چند جمله ای مرتبه ی n با ضرایب مختلط دارای n ریشه ی مختلط است.

بینهایت
نخستین بار مفهوم ریاضی بینهایت در یک دستخط هندی دیده می شود که می گوید "اگر مقداری به بینهایت اضافه کنیم یا مقداری از بینهایت کم کنیم آنچه باقی می ماند همچنان بینهایت خواهد بود". مفهوم بینهایت عنوان رایجی برای مطالعات فلسفی بوداییان هندی در 400 سال قبل از میلاد بود. ارسطو نماد سنتی بینهایت تعریف کرد. گالیله در قرن هفدهم و در کتاب "دو علم جدید" در مورد ایده ی تناظر یک به یک بین مجموعه های نامتناهی صحبت کرد. اما پیشرفت مهم بعدی در این زمینه به نظریه ی "جورج کانتور" بر می گردد. وی در سال 1985 کتابی در زمینه ی نظریه ی مجموعه ها منتشر کرد که در آن برای اولین بار مدلی ریاضی برای نمایش بینهایت بوسیله ی اعدادی خاص (مانند "الف صفر" و "الف یک") و اعمال ریاضی بین اعداد نامتناهی ارائه کرد.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۸:٥٧ ‎ق.ظ روز دوشنبه ۱٤ آبان ۱۳۸٦
تگ ها : ریاضیات