تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

فراکتال چیست؟

۱- به شکل زیر نگاه کنید
لینک ۱
به نظرتون شکل پیچیده ایه؟!!! اگه بگم این شکل اولش یه پاره خط صاف بوده باورتون میشه؟!!! یه پاره خط صاف که از وسط تا خورده و شده مثل یه زاویه ی قائمه٬خب خود زاویه قائمه از دو تا پاره خط تشکیل میشه٬باز هر کدوم از این دو تا پاره خط رو تا کنین و هی ادامه بدین(البته بسته به جهتی که خط رو تا میزنین شکل حاصل فرق میکنه)با ۱۸ بار تکرار این الگو شکلی که دیدین حاصل میشه که بهش میگن اژدهای هِرتِر-های وِی(Herter-Heighway Dragon)
میتونین روند مرحله به مرحله ی کار رو ببینید

لینک ۲

۲- حالا به شکل زیر که ماکت ساده ی یک درخت خشکیدست توجه کنید
لینک ۳
طبیعتا چون این شکل واستون آشناست٬در مقایسه با تصویر قبل زیاد شکل پیچیده ای به نظر نمی یاد.اما به هر حال شاید تا حالا به این دقت نکرده باشید که این شکل هم از یه الگوی خیلی ساده درست شده.دو شاخه از تنه ی درخت منشعب شده و از هر شاخه باز دو شاخه ی کوچکتر انشعاب پیدا کرده و بعد از حدود ۱۰ بار تکرار این عمل ساده شکلی پیچیده در قیاس با الگوی سادش بدست اومده.

۳- به چنین شکلهایی که هم در طبیعت زیاد دیده میشن(مثل همین درخت خشکیده) و هم با کامپیوتر رسم میشن(مثل اژدهای هِرتِر-های وِی) اصطلاحا فراکتال یا برختال گفته میشه که کلمه ایست از ریشه ی یونایی به معنای تکه تکه یا بخش بخش.چند نمونه که به نظرم جالب میاد رو اینجا میذارم٬ببینین میتونین شکل اولیه و الگوی هر شکل رو تشخیص بدین؟!!! بعضی هاشون در عین زیبایی وقتی بهشون دقیق نگاه میکنی واقعا وحشتناکن!!!

فراکتال آنتارا


فراکتال مندل برات

نوعی گل کلم

۴- تعریف دقیق تر ریاضی فراکتال رو میشه اینطوری بیان کرد٬شکلهایی پیچیده از که شکلی ساده با تکرار بینهایتِ الگویی ساده حاصل میشن.البته این بینهایت بار تکرار صرفا از لحاظ ریاضی محضه وگرنه در طبیعت بینهایت تکرار عملا ممکن نیست و در کامپیوتر هم بسته به نوع فراکتال٬بعد از تعداد خاصی تکرار دیگه شکل تغییر نمیکنه(یا بهتره بگیم تغییراتش با چشم قابل تشخیص نیستن)

۵- خاصیت جالبی که فراکتالها دارن خود متشابه بودنشونه(Self Similarity) برای درک تعریف خود متشابهی یه مثل ساده میزنم.اگه چهار تا مربع کوچیک رو کنار هم قرار بدین میتونین یک مربع بزرگتر بسازین.پس مربع خاصیت خود متشابهی داره ولی خب فراکتال نیست. حالا اگه یه شاخه از یه درخت خشکیده رو بشکنین و مقیاسش رو بزرگ کنین و اون شاخه اصلی رو تنه در نظر بگیرین٬باز هم یه درخت کامل رو میتونین ببینیند!!! به بیان دیگه میتونین با کنار هم قرار دادن این شاخه های شکسته(که هر کدوم شبیه درخت کامله)یک درخت کامل بسازید.پس درخت خشکیده هم خاصیت خود متشابهی داره.حالا یه بار دیگه به شکل اژدهای هِرتِر-های وِی نگاه کنید.براحتی میتونید تشخیص بدین که الگوی شکلِ کامل(که شبیه یه اژدها یا بهتره بگم شبیه دو تا حرف S آبی و قرمزه)بارها و بارها در جای جای این فراکتال تکرار شده.

۶- بطور کلی هدف علوم علی الخصوص علوم پایه٬پیدا کردن یه مدل ریاضی از رخدادهای دنیای واقعیه تا بتونن با استفاده از اون مدل خواص اون رخداد رو بهتر بررسی کنند.مثلا یکی از کاربردهای فراکتال مدل بندی ترافیک شبکه های مخابراتیه.تا چند سال پیش ترافیک شبکه های مخابراتی از توزیع پواسون تبعیت میکرد(بچه هایی که درس آمار و احتمال رو در دانشگاه گذروندند با این توزیع آشنا هستن٬برای بچه هایی که با توزیع پواسون آشنا نیستن فقط در یک جمله بگم که یکی از توزیعهای ساده در علم آمار و احتماله که برای پیش بینی وقوع برخی اتفاقات خاص مثل برقراری ارتباط در یک شبکه ی مخابراتی ساده بکار میره)بله٬تا چند سال قبل که شبکه های مخابراتی اعم از تلفن ثابت و تلفن همراه و اینترنت و ... مثل امروز اینقدر گسترده نبودند ترافیک اونها رو با استفاده از توزیع پواسون مدل بندی میکردن اما الان اونقدر ترافیک این شبکه ها زیاد شده که دیگه توزیع پواسون جوابگو نیست و دانشمندان از فراکتالهای بسیار پیچیده برای این کار استفاده میکنن.

۷- نکته ی آخر هم که شاید بیش از حد تخصصی باشه ولی به نظر من جالبه.میدونین برای اینکه تابعی مشتق پذیر باشه شرط پیوستگی لازم ولی ناکافیه٬البته عموما توابع پیوسته بجز در بعضی نقاط خاص در بقیه نقاط مشتق پذیرن.در قرن ۱۹ ریاضیدانی معروف به نام وایرشتراس با ارائه ی تابعی که همه جا پیوسته بود ولی هیچ جا مشتق پذیر نبود دنیای ریاضیات رو تکان داد!!! اون زمانها نمیتونستن این تابع که یک سری نامتناهی هست رو بطور شهودی رسم کنن اما امروزه با وقتی با کامپیوتر این تابع رو رسم میکنند یک فراکتال حاصل میشه!!!

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ٧:٢٤ ‎ب.ظ روز دوشنبه ۳٠ مهر ۱۳۸٦
تگ ها : ریاضیات