تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

ریاضی عمومی و کاربردهای آن (1)

1- بخشی از ریاضیات که بین دانشجویان رشته های مختلف تحت عنوان "ریاضی عمومی" شناخته می شود در واقع شاخه ای از ریاضیات پیشرفته است که "Calculus" یا "حساب دیفرانسیل و انتگرال" نام دارد. این شاخه از ریاضیات که به بررسی توابع، حد، دیفرانسیل (یا همان مشتق)، انتگرال و سری های نامتناهی می پردازد، کاربردهای زیادی در علوم مهندسی، فیزیک، شیمی، اقتصاد و علوم پزشکی دارد و در متن امروز قصد دارم به معرفی آن و کاربردهایش بپردازم.

 

2- همانطور که ما در هندسه به مطالعه شکلها و در جبر به مطالعه ی معادلات می پردازیم، در ریاضیات عمومی یا حساب دیفرانسیل و انتگرال هم به مطالعه ی تغییرات می پردازیم. اهمیت این شاخه از ریاضیات (که مطالعه ی کامل و دقیق آن در مباحث "آنالیز ریاضی" صورت می گیرد) زمانی مشخص شد که دانشمندان پی بردند در حل بسیاری از مسائل دنیای واقعی، جبر به تنهایی کافی نیست. در واقع هر جا بحث زمان و تغییر زمان مطرح باشد (مثل اکثر مسائل دنیای واقعی) مطالعه ی این تغییرات اهمیت زیادی می یابد و اینجاست که نقش Calculus پررنگ می شود. جدای از تلاشهای پراکنده ای که در طول تاریخ و در کشورهایی مثل یونان، چین، هند و ایران در جهت پایه گذاری Calculus انجام شد، اکثریت "ایزاک نیوتن" و "ویلیام لایب نیتز" را مبدعان حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند. دو دانشمند بزرگی که در قرن 17 این شاخه را بطور مستقل گسترش دادند.

 

3- نیوتن در حالی که مشغول کار روی مسائل فیزیکی(بخصوص حرکت سیارات) بود دریافت که ریاضیات موجود نمی تواند پاسخگوی مشکلات او باشد لذا خود شروع به توسعه ی ریاضیاتی که بدان نیاز داشت کرد. اگرچه که نیوتن مدعی بود که لایب نیتز ایده های او را دزدیده اما همگان احترام بسیار زیادی برای کارهای لایب نیتز قائلند چرا که مقالات ارائه شده توسط وی دارای نمادگذاری ها و ریاضی نویسی های دقیق تری نسبت به مقالات نیوتن بود زیرا لایب نیتز اهمیت زیادی برای فرمول نویسی قائل بود و بسیاری از نمادهایی که امروزه در ریاضیات عمومی مورد استفاده قرار میدهیم از ابداعات او بوده است. ضمن اینکه مدارک موجود نشان می دهد که این دو، نتایج خود را بطور مستقل دست آوردند، جایی که لایب نیتز مطالعاتش را با حساب انتگرال شروع کرد و نیوتن با حساب دیفرانسیل.

 

4- نخستین موضوع در Calculus، "تابع" است. در واقع تابع یک ماشین است که یک ورودی می گیرد و یک خروجی تحویل می دهد، مثلا یک ماشین لباس شویی یک تابع است که یک لباس کثیف را به عنوان ورودی می گیرد و یک لباس تمیز را به عنوان خروجی تحویل می دهد. هیچ وقت یک ماشین لباس شویی یک لباس را نمی گیرد و دو لباس تحویل دهد. در واقع اهمیت و ارزش تابع هم به همین مسئله است،چرا؟ تابع رادیکال را در نظر بگیرید. این تابع یک عدد را می گیرد و جذر آنرا می دهد. مثلا 4 را می گیرد و 2 را می دهد. اگر قرار بود تابع رادیکال 4 را بگیرد و 1 و 2 را ارائه کند دیگر کسی نمیتوانست بگوید جذر عدد 4 برابر 1 است یا برابر 2. از اینروست که اعتبار تابع به ارائه ی یک خروجی به ازای یک ورودیست چون اگر قرار باشد به ازای یک ورودی، بیش از یک خروجی داشته باشیم دیگر اعتباری به خروجی ها نیست. این مسئله را "خوش تعریف" بودن تابع می نامند. اگر تابع به ازای دو ورودی متفاوت دو خروجی متفاوت ارائه کند تابع را "یک به یک" می نامیم. ماشین لباس شویی نوعی تابع یک به یک محسوب می شود (چرا؟!!!) رادیکال هم یک تابع یک به یک است اما تابع توان 2 نه !!! چرا که توان دوم اعداد +2 و -2 برابر است با 4.   پس به نوعی می توان گفت خوش تعریف بودن(یک ورودی دو خروجی ندهد) بر عکس یک به یک بودن(دو ورودی یک خروجی ندهد) است.

 

5- موضوع مهم بعدی در ریاضیات عمومی "حد" یک تابع است. در یک جمله می توان گفت حد یک تابع عبارست از "توصیف مقدار تابع در نقطه a با استفاده از مقادیر تابع در نقاط نزدیک به a" در حقیقت وقتی از حد یک تابع در نقطه a صحبت می کنیم مقدار تابع در آن نقطه نیست که اهمیت دارد، رفتار تابع در نقاط نزدیک به نقطه a است که برایمان مهم است. اهمیت حد بیشتر در ارتباط با بحث پیوستگی و نیز تعریف مشتق مشخص می شود. فرض کنید تابع f(x) همه جا برابر صفر است بجز در مبدا که برابر است با یک. بوضوح تابع در مبدا پرش دارد و لذا در مبدا پیوسته نیست. اما حد تابع در مبدا برابر است با صفر چرا که مقدار تابع در تمام نقاط مجاور مبدا صفر است. پس مقدار تابع در مبدا یک است اما حدش در مبدا صفر است و در نتیجه تابع در مبدا ناپیوسته است. در کل هر جا مقدار تابع و حدش نامساوی بودند گوییم تابع در آنجا ناپیوسته است.

 

ادامه دارد...

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۳:۱۳ ‎ب.ظ روز جمعه ۱ خرداد ۱۳۸۸
تگ ها : ریاضیات