تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

یافتن ریشه ی توابع(2)

7- اما راههای پیدا کردن صفر توابع. در گذشته مثل امروز کامپیوتر و برنامه های محاسباتی قدرتمند مثل Matlab ،  Mathematica و  Mapleموجود نبود که فرمول پیچیده ترین توابع رو بهشون بدی و در کسری از ثانیه شکل تابع، مشتق و انتگرال تابع، صفرهای تابع و هر چیزی که لازم داری رو بگیری. یکی از مهم ترین مباحث در جبر که یکی از قدیمی ترین شاخه های ریاضیاته، همین پیدا کردن ریشه های حقیقی چند جمله ای ها (که نوع خاص و پرکاربردی از توابع هستند) بوده و هست. همه ی ما با فرمول معروفی که برای پیدا کردن ریشه های چند جمله ای درجه دو یعنی a x^2 + b x + c بکار میره، آشنا هستیم. این فرمول و فرمول هایی مشابه برای چند جمله ای های درجه ی سه و چهار، نتیجه ی سالها تلاش ریاضیدانان است. اما متاسفانه وقتی پای چند جمله ای های درجه بالا هم به میان میاد روشهای تئوری، عملا از حل مسئله عاجز می مانند چه برسه به وقتی که بخواهیم ریشه های تابعی دلخواه مثلا تابعی نمایی یا لگاریتمی یا مثلثاتی را پیدا کنیم. اینجا هم مثل بسیاری از جاهای دیگه، راه حل رو باید در روش های عددی جستجو کرد.

 

8- گام اول در یافتن ریشه های یک تابع به روش عددی اینست که مشخص کنیم تابع چند ریشه دارد و این ریشه ها در چه بازه ای قرار دارند. ساده ترین راه برای پیدا کردن تعداد و بازه ی ریشه ها، جدول بندی مقادیر تابع و کمک گرفتن از شکل تابع است. وقتی تابع در نقطه ی a مثبت باشد و در نقطه ی b منفی، طبیعتا ریشه ای در بازه (a,b) خواهد داشت. با چک کردن مقدار تابع در چند نقطه و استفاده از تکنیکهای مرسوم برای رسم تابع (مثل بررسی مشتق اول و دوم تابع برای مشخص کردن صعودی و نزولی بودن یا مقعر و محدب بودن تابع) تعداد و بازه ی ریشه ها مشخص می شود.

 

9- روش های گوناگونی برای یافتن ریشه ی توابع وجود دارد. این روش ها همگی تکرار شونده هستند یعنی شما با یک جواب اولیه ی تخمینی ( داخل بازه ای که برای ریشه یافته اید) شروع می کنید و در صورتی که روش دارای همگرایی تضمین شده باشد، بعد از هر بار تکرار، جواب دقیق تری بدست میارید. اگر همگرایی روش تضمین شده نباشد، همگرایی وابسته به نقطه ی شروع خواهد بود یعنی ممکنه برای یک جواب اولیه ی تخمینی، تکرارها به ریشه ی تابع همگرا بشن و برای دیگری خیر.

 

10-  یکی از ساده ترین روشها در یافتن صفر توابع، روش دو بخشی است که همگرایی تضمین شده دارد اما سرعت همگراییش پایین است و دارای مرتبه ی همگرایی یک است. روش دیگری که به ازای هر جواب اولیه ی تخمینی همگراست و سرعت همگرایی بالاتری دارد، روش نا به جاییست. جالب آنکه مرتبه ی همگرایی این روش برابر عدد طلایی (1.618) است. روش های رایج دیگر، روش تکرار ساده و نیوتن هستند که گرچه میتوانند سرعت بالایی داشته باشند اما همگرایی تضمین شده ندارد.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۱٠:۱٧ ‎ب.ظ روز سه‌شنبه ۱٧ دی ۱۳۸٧
تگ ها : ریاضیات