تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

درونیابی و تقریب(2)

 6-  حالا که این همه راجع به اهمیت درونیابی صحبت کردیم، فرض کنید چند نقطه که باید برای درونیابی مورد استفاده قرار بگیرند رو پیدا کردین و حالا هدفتون وصل کردن اون نقاط به هم و بدست آوردن یک تابع درونیابیه که تا حد ممکن رفتاری شبیه تابع اصلی داشته باشه . ساده ترین راه برای اتصال نقاط به هم اینه که اونها رو با یک خط مستقیم به هم وصل کنیم (درونیابی خطی) اما آیا مثلا در مثال سرشماری، رشد جمعیت خطی بوده؟ نه الزاما !!! ممکنه در سال خاصی یک بلای طبیعی یا بیماری همه گیر یا مهاجرت رخ داده باشه و جمعیت در اون سال بطور غیر خطی افزایش یا کاهش پیدا کرده باشه پس اتصال نقاط بطور خطی میتونه خطای زیادی داشته باشه پس بهتره راههای دیگه ای رو امتحان کنیم.

 

7- اگه تابع رو طوری بسازیم که بصورت یک چند جمله ای باشه، چند مزیت بزرگ خواهیم داشت.چند جمله ایها، توابع شناخته شده ای هستند و کار باهاشون راحته و براحتی میتونیم مشتق و انتگرالشون رو بگیریم. راههای زیادی برای بدست آوردن چند جمله ای درونیاب وجود داره مثل روش لاگرانژ،روش نیوتون،روش نویل و روش هرمیت. همینطور میتونیم درونیابی رو با توابعی بجز چند جمله ایها انجام بدیم مثلا درونیابی گویا که در اون تابع بصورت کسری که در صورت و مخرجش چند جمله ای قرار داره، محاسبه میشه یا چند جمله ای نمایی یا مثلثاتی که بترتیب از توابع نمایی و مثلثاتی(سینوس و کسینوس) برای درونیابی استفاده می کنند.

 

8- درونیابی به روشهای اخیر دو مشکل بزرگ داره.اول اینکه ممکنه نوسانات تابع درونیاب (علی الخصوص برای درونیاب چند جمله ای با درجه بالا) خیلی زیاد بشه و خطای درونیابی به شدت بالا بره.دوم هم اینکه اگه ما یک نقطه به نقاط اولیه اضافه کنیم (مثلا اطلاعات یک سال دیگه رو به اطلاعات سرشماری اضافه کنیم) تابع درونیاب بدست اومده کلا عوض میشه!!! برای رفع این مشکل از درونیابی با اسپلاینها استفاده میشه.اسپلاینها بر خلاف درونیابهای گفته شده که اطلاعات رو بطور سراسری (global) درونیابی می کردن،اطلاعات رو بطور موضعی (local) درونیابی می کنند. اسپلاینهای مکعبی(Cubic Spline) و بی-اسپلاین ها(B-Spline) امروزه کاربردهای بسیاری در مقاصد عملی مثل مدل سازی های پزشکی،صنایع اتومبیل سازی، گرافیک کامپیوتر و پردازش تصاویر دارند.

 

9- در بعضی موارد نقاط بدست آمده طی آزمایش که برای پیدا کردن تابع درونیاب مورد استفاده قرار می گیرند بگونه ای هستند که اگر از درونیابی استفاده کنیم(یعنی تابع را دقیقا از نقاطی که طی آزمایش بدست آمده عبور دهیم) تابع فرمی پیچیده پیدا میکند مثلا در بعضی نقاط مشتق پذیر نیست (تابع در اون نقطه به شکل نوک تیز است) یا نوسانات زیادی دارد. اینجاست که بجای درونیابی از تقریب(Approximation)  استفاده میکنیم یعنی بجای اینکه تابع را دقیقا از نقاط عبور دهیم و به تابعی پیچیده برسیم، تابع را از بین نقاط برازش می کنیم یعنی تابع را بگونه ای میسازیم که بجای اینکه دقیقا از نقاط عبور کند از نزدیک نقاط عبور کند اما در عوض تابع حاصله فرمی ساده داشته باشد تا کار با آن آسان باشد.

 

10- جالب آنکه گاهی ما خود تابع را داریم اما در کارهایمان به علت پیچیدگی آن تابع، از تقریبش بجای خود آن تابع استفاده می کنیم.مشهورترین روش تقریب، تقریب کمترین مربعات است. در این روش تابع تقریب، بگونه ای انتخاب می شود که فاصله ی آن تا نقاط، می نیمم شود.این روش وزن یکسانی را در طول بازه ی تقریب اعمال می کند که ممکن است منجر به خطای زیاد در تقریب شود.در این حالت از تقریب کمترین مربعات وزن دار استفاده می شود تا خطای تقریب کاهش یابد.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ٧:٢٢ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٥ آبان ۱۳۸٧
تگ ها : ریاضیات