تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

جبر خطی و جبر خطی عددی

1- فرض کنید روی یک کاغذ دو خط کشیده ایم که در یک نقطه با هم تقاطع دارند و می خواهیم محل تقاطع این دو خط را پیدا کنیم. برای این کار باید معادلات هر دو خط را بنویسیم (دو معادله ی خطی) و هدف پیدا کردن محل تقاطع روی صفحه است (دو مجهول). در نتیجه یک دستگاه معادلات خطی متشکل از دو معادله و دو مجهول داریم. اگر مجهولات را به شکل بردار مجهول، سمت راست معادلات را به شکل بردار معلوم و ضرایب مجهولات را به شکل ماتریس ضرایب نمایش دهیم، می توانیم دستگاه معادلات خطی را بصورت یک دستگاه ماتریسی نمایش دهیم و با حل آن محل تقاطع دو خط را بیابیم.

2- در ریاضیات، شاخه ی جبر خطی به بررسی و مطالعه ی بردارها، ماتریس ها، فضاهای برداری (فضاهای متشکل از بردارها همراه با دو عملگر جمع برداری و ضرب اسکالر)، تبدیلات خطی (توابع بین فضاهای برداری که ساختار فضای برداری را حفظ می کنند یعنی عمل جمع برداری و ضرب اسکالر را حفظ می کنند) و دستگاه های معادلات خطی (یا همان دستگاه های ماتریسی) و روش های حل آن می پردازد. کاربردی ترین قسمت جبر خطی همین بخش آخر یعنی روش های حل دستگاه های معادلات ماتریسی است چرا که بسیاری از مسائل علمی نهایتا به فرم یک دستگاه معادلات ماتریسی ساده می شوند و لذا حل آن ها از اهمیت خاصی برخوردار است.

3- برای حل دستگاه های ماتریسی روش های گوناگونی وجود دارد. اگر دستگاه ماتریسی را به فرم اولیه اش یعنی دستگاه خطی در نظر بگیریم می توانیم از روش هایی مثل روش حذف مجهولات و روش کرامر استفاده کنیم. مزیت این روش ها ساده بودن آنهاست اما اگر تعداد معادلات و مجهولات زیاد باشد این روش ها کارآمد نیستند. تبدیل دستگاه خطی به دستگاه ماتریسی باعث می شود که بتوانیم بسادگی با پیدا کردن وارون ماتریس ضرایب و ضرب آن در بردار سمت راست، جواب دستگاه را بیابیم. اما مشکل اینجاست که اگر اندازه ی ماتریس بزرگ باشد، پیدا کردن وارون آن براحتی امکان پذیر نیست. عموما در مسائل علمی واقعی اندازه ماتریس (یا همان تعداد معادلات و مجهولات بزرگ است) و همانطور که می بینید روش های ذکر شده اگر چه از نظر تئوری داری ارزش زیادی هستند اما در عمل کارآمد نمی باشند. اینجاست که نقش روش های جبرخطی عددی پررنگ می شود.

4- روش های جبرخطی عددی به دو دسته ی روش های مستقیم و غیر مستقیم تقسیم می شوند. از روش های مستقیم می توان به روش حذفی گاوس (تبدیل ماتریس ضرایب به ماتریس بالامثلثی یا پایین مثلثی)، روش تجزیه ی LU (تبدیل ماتریس ضرایب به ضرب یک ماتریس بالامثلثی و یک ماتریس پایین مثلثی)، روش تجزیه ی Cholesky (تبدیل ماتریس ضرایب به ضرب یک ماتریس پایین مثلثی و ترانهاده اش) و روش تجزیه ی QR (تبدیل ماتریس به ضرب یک ماتریس متعامد و یک ماتریس بالا مثلثی) اشاره نمود.

5- اگرچه برای ماتریس های بزرگ، روش های عددی مستقیم، کارآمدتر از روش های غیرعددی هستند اما اگر اندازه ی ماتریس بسیار بزرگ باشد، روش های عددی مستقیم نیز کارآمدی خود را از دست می دهند و باید از روش های عددی غیرمستقیم (یا تکراری) استفاده کرد. از بین این روش ها می توان به روش ژاکوبی (تبدیل ماتریس ضرایب به جمع یک ماتریس قطری و یک ماتریس با قطر صفر)، روش گاوس - سایدل (تبدیل ماتریس ضرایب به جمع یک ماتریس بالامثلثی و یک ماتریس پایین مثلثی)، روش SOR (تبدیل ماتریس ضرایب به جمع یک ماتریس قطری، یک ماتریس بالامثلثی و یک ماتریس پایین مثلثی) و روش های  زیر فضای Krylov اشاره نمود.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۱۱:۱۳ ‎ب.ظ روز شنبه ٢٥ آبان ۱۳٩٢
تگ ها : ریاضیات