تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

1- فرض کنید تابعی چند متغیره دارید مثلا تابعی که هم وابسته به زمان است و هم وابسته به مکان. اگر معادله دیفرانسیلی داشته باشید که در آن مشتق تابع، نسبت به متغیرهای گوناگون وجود داشته باشد (مثلا هم مشتق نسبت به زمان و هم نسبت به مکان)، به چنین معادله دیفرانسیلی، معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (Partial Differential Equation) می گوییم. تفاوت معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی و معادله دیفرانسیل معمولی اینست که در معادله دیفرانسیل معمولی، مشتق تنها نبست به یک متغیر وجود دارد (مثلا فقط مشتق نسبت به زمان).

2- معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مدل کردن پدیده های گوناگون طبیعی مانند حرارت، موج و حرکت سیالات بکار می روند. با توجه به پیچیدگی این معادلات، روش های تحلیلی محدودی برای حل دسته ی خاصی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وجود دارد (مثل "روش سری فوریه" یا "روش مشخصه"). به همین دلیل امروزه روش های عددی به اصلی ترین ابزار در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تبدیل شده اند. در ادامه به بررسی این روش های عددی می پردازیم.

3- ایده ی کلی بیشتر روش های حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بدین شکل است که ابتدا دامنه ی پیوسته ی مساله، گسسته سازی می شود. سپس تابع مجهول یا مشتقات آن بوسیله ی تکنیکی عددی تقریب زده می شود (در حقیقت تفاوت بین روش های عددی مختلف از تفاوتشان در نوع تقریب تابع مجهول یا مشتقات آن حاصل می شود). ترکیب گسسته سازی دامنه و تقریب، باعث تبدیل معادله دیفرانسیل به یک دستگاه ماتریسی می شود و با حل این دستگاه ماتریسی، جواب معادله دیفرانسیل پیدا می شود.

4- یکی از روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، روش تفاضلات متناهی (Finite Difference Method) می باشد. در این روش دامنه را گسسته سازی کرده و تنها بدنبال جواب در نقاط گسسته سازی هستیم. سپس مشتقات تابع مجهول را توسط فرمول های حاصل از بسط تیلور تقریب می زنیم تا دستگاه ماتریسی حاصل شود. نهایتا با حل دستگاه ماتریسی مقادیر تابع مجهول را در نقاط گسسته سازی پیدا می کنیم. مزیت اصلی این روش سادگی و کم هزینه بودن آن است اما ایراد بزرگ آن اینست که تنها روی دامنه های منظم بخوبی کار می کند و برای دامنه های نامنظم دچار مشکل می شود.

5- یکی دیگر از روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، روش اجزای متناهی (Finite Element Method) است. در این روش، معادله ی دیفرانسیل به کمک انتگرال گیری به فرم ساده تری در می آید که به "فرم ساده" معروف است. سپس تابع مجهول بوسیله ی جمع تعداد متناهی تابع مشخص (که به "توابع پایه" معروفند) با ضرایب مجهول تقریب زده می شود (هدف یافتن ضرایب مجهول است تا تابع مجهول مشخص شود) و نهایتا معادله ی دیفرانسیل به دستگاه ماتریسی تبدیل می شود. با حل دستگاه ماتریسی، ضرایب مجهول و در نتیجه خود تابع مجهول مشخص می شود. مزیت بزرگ این روش این است که روی دامنه های نامنظم بخوبی کار می کند اما از روش قبلی پیچیده تر و پرهزینه تر است.

6- از دیگر روش های معروف حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می توان به روش حجم های متناهی (Finite Volume Method)، روش طیفی (Spectral Method) و روش بی نیاز از شبکه (Meshfree Method) اشاره نمود.

7- یکی از روش های متفاوت در حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، روش خطوط (Method of Lines) می باشد. در این روش، پس از گسسته سازی دامنه، تمامی مشتقات مکانی توسط یکی دیگر از روش های عددی تقریب زده می شود اما مشتق زمانی دست نخورده باقی می ماند. با این کار معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود که توسط روش های خاص حل معادلات دیفرانسیل معمولی قابل حل است.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۱:٢٠ ‎ق.ظ روز دوشنبه ٢٢ مهر ۱۳٩٢
تگ ها : ریاضیات