تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

انتگرال و انتگرال گیری عددی

1- انتگرال یکی از مهمترین مفاهیم در ریاضیات است. می توان گفت عملگر انتگرال و عملگر معکوس آن یعنی مشتق، مهمترین عملگرهای دنیای ریاضی هستند. هر تابع را می توان بصورت یک نمودار نمایش داد و انتگرال تابع از نظر شهودی به معنای مساحت زیر نمودار تابع است. یعنی انتگرال تابع (f(x روی بازه ی [a,b] به معنای مساحت زیر نمودار (f(x از نقطه ی a تا نقطه ی b است.

2- از نظر تاریخی موضوع انتگرال (به معنای یافتن مساحت) به سه قرن پیش از میلاد مسیح و یونان باستان باز می گردد. در این دوران برای یافتن مساحت یک شکل هندسی دلخواه، آن را به شکل های هندسی دیگر که مساحتشان شناخته شده بود (مانند مستطیل و مثلث) می شکستند تا تقریبی برای مساحت شکل اصلی پیدا کنند. به عنوان مثال می توان یک دایره را به تعدادی مثلث متساوی الساقین هم اندازه شکست و هر چه تعداد این مثلث ها بیشتر باشد تقریب بهتری برای مساحت دایره حاصل می شود.  

3- پیشرفت اصلی مبحث انتگرال در قرن 17 و با کشف قضیه ی اساسی حسابان توسط نیوتون و لایب نیتز رخ داد. این قضیه نشان داد که عملگر انتگرال، معکوس عملگر مشتق است، یعنی اگر مشتق تابع (F(x برابر با تابع (f(x است، آنگاه انتگرال تابع (f(x برابر با تابع (F(x می باشد (تابع (F(x را تابع اولیه ی (f(x می نامند). به عنوان مثال چون مشتق تابع x^2 برابر با 2x است، انتگرال 2x برابر است با x^2. این قضیه باعث ساده شدن محاسبه ی انتگرال شد، چرا که محاسبه ی مشتق توابع ساده است و از این سادگی می توان برای محاسبه انتگرال توابع بهره برد.

4- اما مشکلی در این میان وجود داشت. بسیاری از توابع هستند که تابع اولیه شان وجود ندارد مثل (e^(-x^2. این تابع مثل هر تابع دیگری دارای نمودار و بالطبع مساحت زیر نمودار است، اما چون هیچ تابعی وجود ندارد که مشتقش برابر با (e^(-x^2 باشد، نمی توان فرمول صریح و دقیقی برای انتگرال این تابع ارائه داد. مشکل دیگر اینست که در بسیاری از مسائل فیزیکی تابعی که نیاز داریم از آن انتگرال بگیریم فقط در چند نقطه موجود است (که از طریق نمونه گیری بدست آمده) و لذا اصلا فرمول صریح تابع وجود ندارد، چه برسد به فرمول صریح انتگرال تابع!!! اینجاست که سر و کله ی انتگرال گیری عددی پیدا می شود.

5- در انتگرال گیری عددی، بازه ی انتگرال گیری به چندین زیر بازه تقسیم می شود و در هر زیربازه تقریبی برای تابع روی آن زیربازه ارائه می شود (مثلا توسط چندجمله ای ها). به عنوان مثال می توان یک تابع را روی یک زیربازه ی کوچک بوسیله ی یک خط صاف (چند جمله ای درجه صفر یا درجه یک) تقریب زد. این کار به روش مستطیلی یا همان روش نقطه میانی (برای چند جمله ای درجه صفر) و روش ذوزنقه (برای چند جمله ای درجه یک) منتج می شود. اگر از چند جمله ای درجه دو و سه برای تقریب تابع استفاده کنیم به روش های سیمپسون و سیمپسون سه هشتم می رسیم. تعمیم این ایده منتج به روش های quadrature می شود. روش پیشرفته تر رامبرگ همین ایده را با ایده ی برون یابی ریچاردسون ترکیب می کند تا روش های با دقت بیشتر ارائه کند.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۱۱:٤٧ ‎ب.ظ روز یکشنبه ۳۱ شهریور ۱۳٩٢
تگ ها : ریاضیات