تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی

1- معادلات دیفرانسیل (Differential Equations) که براساس مشتق ساخته می شوند، نقش بسیار مهمی در علوم مهندسی ایفا می کنند. در حقیقت اکثر پدیده های طبیعی با تغییر زمان یا مکان تغییر می کنند و مدل کردن این تغییرات منجر به یک معادله دیفرانسیل می شود. به بحث معادلات دیفرانسیل و ارتباط آن با دنیای واقعی در آینده خواهم پرداخت اما در این متن قصد دارم به روشهای حل معادلات دیفراسیل بپردازم.

2- معادلات دیفرانسیل دسته های گوناگونی دارند که دسته های بسیار خاصی از آن بطور تحلیلی و دقیق قابل حلند و بسیاری اوقات برای حل یک معادله دیفرانسیل با فرم بسیار ساده، روشهای تحلیلی پیچیده و پرهزینه وجود دارد. از اینروست که روشهای حل عددی مثل بسیاری از شاخه های ریاضی، تبدیل به روشهایی کارآمد در عرصه ی معادلات دیفرانسیل شده اند. در این متن به روشهای حل عددی "معادلات دیفرانسیل معمولی" خواهم پرداخت و  روشهای عددی که در حل "معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی" بکار می روند را در آینده مورد بحث و بررسی قرار خواهم داد.


3- معادلات دیفرانسیل معمولی به دو دسته ی "مقدار اولیه" و "مقدار مرزی" تقسیم می شوند. در معادلات دیفرانسیل معمولی با مقدار اولیه، یک شرط اولیه ارائه می شود و جواب به کمک این شرط اولیه و روش عددی مناسب در سایر نقاط محاسبه می شود. در معادلات دیفرانسیل معمولی با مقدار مرزی، دو شرط مرزی ارائه می شود و جواب به کمک این دو شرط مرزی و روش عددی مناسب در سایر نقاط محاسبه می شود.

4- معادله دیفرانسیل معمولی با مقدار اولیه به فرم کلی (dx/dt=f(t,x را در نظر بگیرید که در آن t زمان و x مکان است. این معادله دیفرانسیل دارای جوابی به فرم (x(t است و ما به کمک شرط اولیه (x(t_0 که به ما داده می شود باید مقدار x را در زمان دلخواه  t_nبدست آوریم (یعنی (x(t_n را محاسبه کنیم). سه روش عددی برای حل این معادله وجود دارد، روشهای تک گامی، روشهای چند گامی و روشهای برونیابی.


5- روشهای تک گامی فرمولی کلی بشکل {…}+(x(t_(i+1))=x(t_i بدست می دهند که  مقدار {…} مشخص است و باتوجه به اینکه شرط اولیه یعنی (x(t_0 را داریم می توانیم مرحله به مرحله (x(t_1 و (x(t_2 و ...  و در نهایت (x(t_n را بدست آوریم. دسته ای از روشهای تک گامی براساس بسط تیلور یک متغیره بنا می شوند که مهمترینشان روش اویلر است. این روشها دقت خوبی ارائه می کنند اما ایرادشان اینست که نیازمند محاسبه و ارزیابی مشتقات (f(t,x هستند. دسته ای دیگر از روشهای تک گامی وجود دارند که براساس بسط تیلور دو متغیره ساخته می شوند و به روشهای رونگ-کوتا (Runge-Kutta) معروفند. این روشها علاوه بر داشتن دقت بالا، بی نیاز از محاسبه و ارزیابی مشتقات (f(t,x هستند. معروف ترین این روشها رونگ کوتای مرتبه ی دو (اعم از هیون، نقطه میانی و پیراسته ی اویلر) و رونگ کوتای مرتبه ی چهار می باشند.


6- در روش های تک گامی برای محاسبه ی (x(t_(i+1 تنها از (x(t_i استفاده می شود اما در روشهای چند گامی بسته به تعداد گام از (x(t_i و ((x(t_(i-1 و ... استفاده می شود که همین امر دقت روش را بالاتر می برد. در این روشها ابتدا باید با استفاده از یک روش تک گامی (x(t_i های مورد نیاز برای آغاز روش را بدست آورد و سپس روش را مورد استفاده قرار داد. از معروفترین روشهای چند گامی میتوان به روش آدامز-مولتون (Adams-Moulton) و آدامز-بشفورث (Adams-Bashforth) اشاره نمود. روش اول روشی صریح است و جواب را بدون نیاز به حل دستگاه ارائه می کند ولی روش دوم ضمنیست و نیازمند حل دستگاه است اما دارای دقت بالاتر و پایداری بیشتر است (خطا در روشهای با پایداری کم با گذشت زمان رشد زیادی دارد).


7- آخرین دسته از روشهای عددی که برای حل معادله دیفرانسیل معمولی مقدار اولیه مورد استفاده قرار می گیرند، روشهای برونیابی هستند. در روشهای برونیابی روشهای با دقت کم بوسیله ی تکنیک های خاصی با هم ترکیب شده و روشی با دقت بالا استخراج می شود.

8- معروف ترین روش عددی در حل معادلات دیفرانسیل معمولی با مقدار مرزی روش پرتابی (shooting) است. در این روش فرض بر این است که می خواهیم گلوله ای را از نقطه مرزی اول به نقطه ی مرزی دوم شلیک کنیم. مسیر پرتاب گلوله همان جواب عددی مساله است که باید از نقطه ی مرزی اول شروع شده به نقطه ی مرزی دوم خاتمه یابد. از نقطه ی مرزی اول ارتفاعی را برای پرتاب گلوله بطور تصادفی انتخاب کرده (حدس اولیه) و گلوله را پرتاب می کنیم. اگر گلوله به نقطه ی مرزی دوم برخورد کرد مسیر گلوله همان جواب عددی خواهد بود اما در غیر اینصورت با اصلاح حدس اولیه گلوله ی دیگری پرتاب می کنیم و این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا گلوله به هدف برخورد کند.

9- همانطور که دیدیم روشهای گوناگون عددی برای حل معادلات دیفرانسیل وجود دارد و امکان حل دسته ی بسیار بزرگتری از معادلات دیفرانسیل را نسبت به روشهای تحلیلی می دهند. همین انگیزه نیز باعث رشد چشمگیر روشهای عددی در شاخه های مختلف ریاضی و مهندسی از جمله معادلات دیفرانسیل شده است و امروزه روشهای عددی جدیدتر و کارآمد تر با شتابی چشمگیر در قالب مقالات گوناگون علمی ارائه می شوند.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۸:٥٠ ‎ق.ظ روز دوشنبه ۱٢ امرداد ۱۳۸۸
تگ ها : ریاضیات