تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

ریاضی عمومی و کاربردهای آن (2)

6- اما برسیم به یکی از مهمترین و کاربردی ترین مباحث موجود درتمام دنیای ریاضیات یعنی "مشتق". به جرات می توان گفت اگر مشتق را از تعاریف ریاضی حذف کنیم شاید بخش عمده ای از علوم مهندسی امروز از بین برود. مشتق یک عملگر است که یک تابع را به عنوان ورودی می گیرد و یک تابع دیگر را به عنوان خروجی ارائه می کند مثلا تابع
x^2 را گرفته و تابع 2*x را به عنوان مشتق می دهد. بطور شهودی مشتق یک تابع در نقطه a معادل است با "شیب خط مماس بر آن تابع در نقطه a" اما براستی چرا چنین عملگر به ظاهر ساده ای اینقدر مهم است؟!!! همانطور که قبلا هم ذکر شد در حساب دیفرانسیل و انتگرال به مطالعه ی تغییرات می پردازیم و عملگر مشتق، مهمترین عملگریست که مستقیما با تغییرات سر و کار دارد. مثلا یک ماشین را در نظر بگیرید که در زمان t = 0 از مبدا با تابع جابجایی f(t) = 3t شروع به حرکت می کند یعنی این ماشین بعد از گذشت t = 1 ثانیه به اندازه یf(1) = 3 متر و بعد از گذشت t = 2 ثانیه به اندازه ی  f(2) = 6 متر حرکت کرده است. بوضوح این ماشین در هر ثانیه 3 متر جابجا می شود یعنی سرعت حرکت آن در هر زمانی 3 متر در ثانیه است. سرعت یعنی مقدار تغییر مکان نسبت به زمان. حال مشتق تابعی که ماشین طبق آن جابجا می شود را محاسبه کنید. بوضوح مشتق f(t) = 3t برابر 3 است یعنی همان سرعت ماشین که قبلا هم آنرا براحتی و بدون استفاده از مشتق گیری محاسبه کردیم. اما اگر فرمول حرکت ماشین کمی پیچیده تر باشد (مثلا f(t) = t^2 ) نمی توان براحتی و بدون استفاده از مشتق سرعت ماشین را در زمانهای محتلف محاسبه کرد (چرا؟!!!)

 

7- اهمیت مشتق جاهای دیگر هم مشاهده می شود مثلا در محاسبه ی نقاط ماکزیمم و می نیمم که درعلومی مثل تحقیق در عملیات و بهینه سازی دارای ارزش بسیاری هستند یا در معادلات دیفرانسیل که برای مدل کردن اکثر رویدادهای دنیای واقعی در شاخه های مختلف مهندسی مثل برق، مکانیک و عمران مورد استفاده قرار می گیرد. یکی دیگر از جاهایی که مشتق، تحول بزرگی در ریاضیات کاربردی و خصوصا محاسبات عددی بوجود آورد، "بسط تیلور" بود که در قرن 18 توسط ریاضیدان انگلیسی "Brook Taylor" ارائه شد. بسط تیلور یک تابع در نقطه a عبارتست از نمایش آن تابع به کمک جمع بی نهایت چندجمله ای (که با استفاده از مشتقات همان تابع در نقطه a و خود نقطه a ساخته می شود) برای بسیاری از توابع، جمع چند جمله ی اول بسط تیلورشان تقریب خوبی برای تابع بدست می دهد لذا می توان بجای کار کردن با خود تابع (که می تواند بسیار پیچیده باشد) با جملات بسط تیلور آن (که چند جمله ای و لذا ساده هستند) کار کرد.

 

8- یکی دیگر از عناوین مهم در ریاضی عمومی "انتگرال" است. انتگرال بطور کلی مرتبط است با مسئله ی مساحت زیر نمودار یک تابع. اگر بخواهیم مساحت زیر نمودار را در بازه ای خاص محاسبه کنیم، از انتگرال معین و در غیر اینصورت از انتگرال نامعین بهره می گیریم. در حقیقت انتگرال معین عملگریست که یک تابع و یک بازه را به عنوان ورودی می گیرد و یک عدد (مساحت زیر نمودار در بازه ی داده شده) را به عنوان خروجی می دهد. اما انتگرال نامعین یک عملگر است که تابع f را گرفته و تابع F را به عنوان انتگرال تابع f می دهد و به کمک تابع F (که تابع
اولیه ی f
 نام دارد) قادریم مساحت زیر نمودار را در هر بازه ای که می خواهیم محاسبه کنیم.

 

9- در ظاهر انتگرال و مشتق ارتباط خاصی با هم ندارند چرا که اولی به مسئله ی مساحت و دومی به مسئله ی مماس مربوط است. اما در قرن 17 استاد ِ نیوتن در دانشگاه کمبریج یعنی "IssacBarrow" فهمید که این دو مسئله ارتباط بسیار تنگاتنگی با هم دارند و در واقع مشتق گیری و انتگرال گیری دو فرایند معکوس یکدیگرند. بعدها نیوتن و لایب نیتز این مسئله را در قالب "قضیه ی بنیادین حساب دیفرانسیل و انتگرال" بیان و آشکار کردند و نشان دادند که اگر انتگرال تابع f برابر با تابع F شود، مشتق تابع F برابر با تابع f می شود. از این خاصیت می توان بهره برد و مشتق یک تابع را بدون درگیر شدن به تعریف مشتق (و لذا حد) محاسبه کرد. مثلا بجای محاسبه ی مشتق تابع x^2 تابعی را می یابیم که انتگرالش x^2 شود. این تابع یعنی 2*x همان مشتق تابع است.

 

10- اما برسیم به کاربردهای حساب دیفرانسیل و انتگرال در شاخه های گوناگون علم. بسیاری از مفاهیم مکانیک کلاسیک مثل نیرو، گشتاور و انرژی با استفاده از Calculus قابل محاسبه هستند مثلا قانون دوم نیوتن یعنی "نیرو=جرم*شتاب" وابسته به مفهوم مشتق است چرا که شتاب در واقع مشتق سرعت و سرعت مشتق جابجاییست. در الکتریسیته و مغناطیس از Calculus برای محاسبه شار کل میدان الکترومغناطیس استفاده می شود. همچنین قضیه ی ماکسول در الکترومغناطیس و تئوری نسبیت عام اینشتین به کمک مشتق بیان می شوند. در شیمی از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای محاسبه نرخ واکنش و واپاشی رادیو اکتیو استفاده می شود. در حوزه ی علم پزشکی از Calculus برای پیدا کردن بهترین زاویه ی شاخه گزینی یک رگ خونی به منظور ایجاد جریان بیشینه ی خون استفاده می شود. در عمران، می توان حجم خاکریزی و خاکبرداری یک جاده با کمک انتگرال گیری از فرمول سطح جاده مشخص کرد. همچنین در اقتصاد از این علم برای بیشینه کردن سود با در نظر گرفتن مقدار هزینه و درآمد بهره می گیرند. در مجموع Calculus یکی از شاخه های ریاضیات است که نزدیکی بسیار زیادی با دنیای واقعی دارد و پیشرفت علم آنچنان که امروز می بینیم بدون آن میسر نبود.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ٦:٤۳ ‎ب.ظ روز دوشنبه ۱۱ خرداد ۱۳۸۸
تگ ها : ریاضیات

ریاضی عمومی و کاربردهای آن (1)

1- بخشی از ریاضیات که بین دانشجویان رشته های مختلف تحت عنوان "ریاضی عمومی" شناخته می شود در واقع شاخه ای از ریاضیات پیشرفته است که "Calculus" یا "حساب دیفرانسیل و انتگرال" نام دارد. این شاخه از ریاضیات که به بررسی توابع، حد، دیفرانسیل (یا همان مشتق)، انتگرال و سری های نامتناهی می پردازد، کاربردهای زیادی در علوم مهندسی، فیزیک، شیمی، اقتصاد و علوم پزشکی دارد و در متن امروز قصد دارم به معرفی آن و کاربردهایش بپردازم.

 

2- همانطور که ما در هندسه به مطالعه شکلها و در جبر به مطالعه ی معادلات می پردازیم، در ریاضیات عمومی یا حساب دیفرانسیل و انتگرال هم به مطالعه ی تغییرات می پردازیم. اهمیت این شاخه از ریاضیات (که مطالعه ی کامل و دقیق آن در مباحث "آنالیز ریاضی" صورت می گیرد) زمانی مشخص شد که دانشمندان پی بردند در حل بسیاری از مسائل دنیای واقعی، جبر به تنهایی کافی نیست. در واقع هر جا بحث زمان و تغییر زمان مطرح باشد (مثل اکثر مسائل دنیای واقعی) مطالعه ی این تغییرات اهمیت زیادی می یابد و اینجاست که نقش Calculus پررنگ می شود. جدای از تلاشهای پراکنده ای که در طول تاریخ و در کشورهایی مثل یونان، چین، هند و ایران در جهت پایه گذاری Calculus انجام شد، اکثریت "ایزاک نیوتن" و "ویلیام لایب نیتز" را مبدعان حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند. دو دانشمند بزرگی که در قرن 17 این شاخه را بطور مستقل گسترش دادند.

 

3- نیوتن در حالی که مشغول کار روی مسائل فیزیکی(بخصوص حرکت سیارات) بود دریافت که ریاضیات موجود نمی تواند پاسخگوی مشکلات او باشد لذا خود شروع به توسعه ی ریاضیاتی که بدان نیاز داشت کرد. اگرچه که نیوتن مدعی بود که لایب نیتز ایده های او را دزدیده اما همگان احترام بسیار زیادی برای کارهای لایب نیتز قائلند چرا که مقالات ارائه شده توسط وی دارای نمادگذاری ها و ریاضی نویسی های دقیق تری نسبت به مقالات نیوتن بود زیرا لایب نیتز اهمیت زیادی برای فرمول نویسی قائل بود و بسیاری از نمادهایی که امروزه در ریاضیات عمومی مورد استفاده قرار میدهیم از ابداعات او بوده است. ضمن اینکه مدارک موجود نشان می دهد که این دو، نتایج خود را بطور مستقل دست آوردند، جایی که لایب نیتز مطالعاتش را با حساب انتگرال شروع کرد و نیوتن با حساب دیفرانسیل.

 

4- نخستین موضوع در Calculus، "تابع" است. در واقع تابع یک ماشین است که یک ورودی می گیرد و یک خروجی تحویل می دهد، مثلا یک ماشین لباس شویی یک تابع است که یک لباس کثیف را به عنوان ورودی می گیرد و یک لباس تمیز را به عنوان خروجی تحویل می دهد. هیچ وقت یک ماشین لباس شویی یک لباس را نمی گیرد و دو لباس تحویل دهد. در واقع اهمیت و ارزش تابع هم به همین مسئله است،چرا؟ تابع رادیکال را در نظر بگیرید. این تابع یک عدد را می گیرد و جذر آنرا می دهد. مثلا 4 را می گیرد و 2 را می دهد. اگر قرار بود تابع رادیکال 4 را بگیرد و 1 و 2 را ارائه کند دیگر کسی نمیتوانست بگوید جذر عدد 4 برابر 1 است یا برابر 2. از اینروست که اعتبار تابع به ارائه ی یک خروجی به ازای یک ورودیست چون اگر قرار باشد به ازای یک ورودی، بیش از یک خروجی داشته باشیم دیگر اعتباری به خروجی ها نیست. این مسئله را "خوش تعریف" بودن تابع می نامند. اگر تابع به ازای دو ورودی متفاوت دو خروجی متفاوت ارائه کند تابع را "یک به یک" می نامیم. ماشین لباس شویی نوعی تابع یک به یک محسوب می شود (چرا؟!!!) رادیکال هم یک تابع یک به یک است اما تابع توان 2 نه !!! چرا که توان دوم اعداد +2 و -2 برابر است با 4.   پس به نوعی می توان گفت خوش تعریف بودن(یک ورودی دو خروجی ندهد) بر عکس یک به یک بودن(دو ورودی یک خروجی ندهد) است.

 

5- موضوع مهم بعدی در ریاضیات عمومی "حد" یک تابع است. در یک جمله می توان گفت حد یک تابع عبارست از "توصیف مقدار تابع در نقطه a با استفاده از مقادیر تابع در نقاط نزدیک به a" در حقیقت وقتی از حد یک تابع در نقطه a صحبت می کنیم مقدار تابع در آن نقطه نیست که اهمیت دارد، رفتار تابع در نقاط نزدیک به نقطه a است که برایمان مهم است. اهمیت حد بیشتر در ارتباط با بحث پیوستگی و نیز تعریف مشتق مشخص می شود. فرض کنید تابع f(x) همه جا برابر صفر است بجز در مبدا که برابر است با یک. بوضوح تابع در مبدا پرش دارد و لذا در مبدا پیوسته نیست. اما حد تابع در مبدا برابر است با صفر چرا که مقدار تابع در تمام نقاط مجاور مبدا صفر است. پس مقدار تابع در مبدا یک است اما حدش در مبدا صفر است و در نتیجه تابع در مبدا ناپیوسته است. در کل هر جا مقدار تابع و حدش نامساوی بودند گوییم تابع در آنجا ناپیوسته است.

 

ادامه دارد...

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۳:۱۳ ‎ب.ظ روز جمعه ۱ خرداد ۱۳۸۸
تگ ها : ریاضیات