تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

معرفی گرایش ها و دروس ریاضی محض و کاربردی

١- آمار و احتمال (Statistics and Probability)
این علم به بررسی رخدادهای غیر قطعی که در عین حال فضای نمونه (کلیه حالتهای ممکن رخداد اتفاق) مشخص دارند می پردازد. به عنوان مثال اگر یک سکه را پرتاب کنید، از قبل نمی دانید که شیر خواهد آمد یا خط، اما می دانید که یا شیر خواهد آمد یا خط (در واقع فضای نمونه در پرتاب یک سکه شامل شیر و خط است). مباحث اصلی این گرایش پرکاربرد ریاضی عبارتند از توزیعهای پیوسته و گسسته و  توام، نظریه  نمونه گیری، نظریه تصمیم، نظریه برآورد، آزمون فرض، رگرسیون فرآیندهای تصادفی سریهای زمانی و ...

2- آنالیز ریاضی (Mathematics Analysis)
یکی از  قدیمی ترین شاخه های ریاضیات است که پایه ی تئوری بسیاری از گرایش های پرکاربرد ریاضی مثل آنالیز عددی را فراهم می کند.در این شاخه به آنالیز دقیق توابع، حد، مشتق، انتگرال، دنباله ها، سری ها و توپولوژی مجموعه ها پرداخته می شود.

3- آنالیز عددی (Numerical Analysis)
کاربردی ترین شاخه علم ریاضی محسوب می شود و در واقع حلقه اتصال بین ریاضیات و علوم مهندسی بشمار می رود. این علم که مهندسان آن را با نام محاسبات عددی می شناسند دارای زیر شاخه های گوناگون مثل آنالیز خطا، نظریه درونیابی و تقریب، مشتق گیری و انتگرال گیری عددی، حل عددی معادلات یک و چند متغیره، جبر خطی عددی، بهینه سازی عددی و حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) و با مشتقات پاره ای (PDE) می باشد.

4- بهینه سازی و تحقیق در عملیات (Optimization & Operation Research)
یکی از شاخه های کاربردی ریاضیات در صنعت، بهینه سازی و تحقیق در عملیات می باشد. هدف این علم مدل سازی مسائل مرتبط با صنعت و بهینه سازی آنهاست مثلا ماکزیمم کردن سود یا مینیمم کردن هزینه ها با داشتن منابع محدود. از مباحث گوناگون این علم می توان به برنامه ریزی خطی، برنامه ریزی صحیح، برنامه ریزی پویا و برنامه ریزی غیر خطی اشاره نمود.

5- ترکیبیات (Combinatorics)
این گرایش به مطالعه و بررسی ساختارهای متناهی و شمارش پدیر اشیا و چگونگی چینش آنها می پردازد و کاربردهای زیادی در نظریه احتمال، هندسه، کدگذاری و جبر دارد. ترکیب، ترتیب، جایگشت، اصل شمارش و روابط بازگشتی مباحث اصلی ترکیبیات هستند.

6- توابع مختلط (Complex Functions)
این گرایش به بررسی مباحث مرتبط با اعداد و توابع مختلط می پردازد. بحث مربوط به روابط جبری بین اعداد مختلط، انواع توابع مختلط، دنباله و سری اعداد مختلط و حدگیری، مشتق گیری و انتگرال گیری از توابع مختلط از جمله مباحث این گرایش می باشد.

7- توپولوژی (Topology)
توپولوژی در زبان یونانی به معنای "مطالعه ی مکان" است و این گرایش به مطالعه ی شکل ها و فضاها می پردازد. در توپولوژی به مطالعه ی تغییر شکل هایی می پردازیم که پیوستگی شکل و فضا را حفظ می کنند (مانند فشردن یا کشیدن) نه تغییر شکل هایی مانند بریدن یا چسباندن. از مباحث توپولوژی می توان به فضاهای توپولوژیک، خواص توپولوژیک، مجموعه های توپولوژیک، حد، فشردگی و اتصال اشاره نمود.  

8- جبر (Algebra)
یکی از کهن ترین  و در عین حال قطعی ترین شاخه های ریاضیات محسوب میشود و پایه ی بسیاری از گرایشهای امروزی ریاضیات و حتی علوم غیر ریاضی بشمار می رود، بگونه ای که متخصصان نظریه کوانتوم نیز از جبر استفاده می کنند. بخشهای مختلف جبر عبارتند از نظریه گروهها، نظریه حلقه ها، نظریه میدانها، نظریه گالوا و ...

9- جبرخطی (Linear Algebra)
بسیاری از عملگرها در ریاضیات دارای خاصیت خطی هستند و جبر خطی به بررسی این گونه عملگرها و مباحث مربوط به آنها می پردازد. زیر شاخه های گوناگون این علم عبارتند از دستگاههای خطی، فضاهای برداری، تبدیلات خطی، ماتریسها، فضاهای ضرب داخلی و ...

10 – حسابان (Calculus)
این گرایش که تحت عنوان حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز شناخته می شود به مطالعه ی مشتق (نرخ تغییرات و شیب منحنی) و انتگرال (میزان تجمع و مساحت زیر منحنی) می پردازد. مشتق و انتگرال دو عملگر بسیار مهم در ریاضی هستند که ارتباط آنها توسط قضیه ی اساسی حسابان توضیح داده می شود. گسترش این گرایش مدیون تلاش های دو غول تاریخ ریاضی یعنی لایب نیتز و نیوتن در قرن 17 میلادی است.

11- ریاضیات مالی
 (Financial Mathematics)
این علم به بررسی چگونگی الگوبندی مسائل مالی و بازارهای اقتصادی و تجزیه و تحلیل آنها به کمک روش های ریاضی می پردازد و از مباحث مختلفی در آمار و احتمال و آنالیز عددی بهره می برد. هر چند شاید این علم در اقتصادهای بی ثبات دنیا مثل اقتصاد ایران کاربردی نداشته باشد اما اقتصادهای قدرتمند جهان از این علم کمک های فراوانی در پیش بینی مسائل مختلف مالی می گیرند.

12- سیستم های دینامیکی (
Dynamical Systems)
سیستم های دینامیکی نام گرایشی از ریاضیات است که به بررسی کیفی دستگاههای معادلات دیفرانسیل (بدون حل تحلیلی یا عددی آنها) می پردازد. شاخه های گوناگون این علم عبارتند از سیستمهای دینامیکی خطی و غیر خطی، سیستمهای دینامیکی گسسته و پیوسته، نظریه انشعاب و نظریه آشوب.

13- کدگذاری (Coding)
کدگذاری شاخه ای از علم ریاضیست که به امکان ارسال اطلاعات با بالاترین سرعت و کمترین خطا (خرابی اطلاعات در طول مسیر انتقال) می پردازد. این علم که کاربرد بسیار زیادی در مخابرات دارد را می توان ترکیبی از جبر، جبر خطی، ترکیبیات و احتمال دانست. لازم به ذکر است که نباید این علم را با رمزنگاری اشتباه گرفت چرا که در رمز نگاری بحث سرعت و خطای ارسال اطلاعات مطرح نیست و تنها بحث امنیت مطرح است.

14- گراف (Graph)
نظریه گراف به بررسی سیستم های ارتباطی شامل چند مرکز اصلی (راس) و راههای ارتباطی (یال) بین آنها می پردازد. حال این رئوس و یال ها می توانند چند شهر و راههای بین آنها باشد یا چند مرکز مخابراتی و کانالهای مخابراتی بین آنها. شاخه های نظریه گراف عبارتند از گرافها و زیر گرافها، درختها، تطابق ها، رنگ آمیزی گرافهای جهت دار و ...

15- مثلثات (Trigonometry)
مطالعه روی روابط موجود بین زوایای شکلهای مختلف دو و سه بعدی و نیز بررسی دایره مثلثاتی، توابع مثلثاتی و توابع تناوبی بحث اصلی مثلثات می باشد. بطور کلی مثلثات کاربردهای بسیار زیادی در نجوم، جغرافی، اپتیک، شیمی، فیزیک و بسیاری دیگر از علوم دارد.

16- معادلات دیفرانسیل (Differential Equations) 
هر معادله که شامل یک تابع مجهول و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل می نامند. اگر مشتق تابع مجهول تنها نسبت به یک متغیر در معادله ظاهر شده باشد معادله را معادله دیفرانسیل عادی (ODE) و در غیر اینصورت معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) می نامند. شاخه های این علم عبارتند از معادلات دیفرانسیل عادی مرتبه اول، دوم و بالاتر، روش سری های توانی، تبدیل لاپلاس، دستگاه معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی ،معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول، دوم و بالاتر و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هذلولوی، بیضوی و سهموی.

17- منطق ریاضی (Mathematical Logic)
در یک جمله منطق ریاضی به بیان منطق به زبان ریاضی و با کمک نمادها و روابط ریاضی می پردازد. شاخه های اصلی منطق عبارتند از نظریه مدل، نظریه بازگشت، نظریه اثبات، پارادوکس ها، منطق قراردادی و منطق نمادی.

18- نظریه اعداد (Number Theory)
نظریه اعداد به بررسی خواص اعداد و روابط بین آنها بویژه اعداد صحیح می پردازد. نظریه اعداد آنالیزی، نظریه اعداد جبری، نظریه اعداد هندسی، نظریه اعداد ترکیبیاتی و نظریه اعداد اول شاخه های گوناگون این علم می باشند.

19- نظریه مجموعه ها (Set Theory)
این گرایش به مطالعه ی مجموعه های ریاضی و خواص آنها می پردازد. در این گرایش به بررسی مجموعه ها، زیر مجموعه ها، اتحاد و اشتراک مجوعه ها، اندازه ی مجموعه ها و مجموعه های توانی می پردازیم.

20- هندسه
(Geometry)
هندسه که یکی از قدیمی ترین علوم بشری محسوب می شود به بررسی مساحت، محیط، حجم شکل ها و روابط و موقعیت آن ها در صفحه (هندسه مسطحه) و در فضا (هندسه فضایی) می پردازد. از شاخه های مختلف هندسه می توان به هندسه تصویری، هندسه تحلیلی، هندسه برداری، هندسه اقلیدسی، هندسه نا اقلیدسی (لوباچفسکی) و هندسه فراکتالی اشاره کرد که هندسه فراکتالی کاربرد بسیاری در نظریه آشوب دارد.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۱٢:٤٦ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ٢٩ خرداد ۱۳۸٧
تگ ها : ریاضیات