تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

مجموعه ی کانتور و خواص عجیب آن

1- بازه ی بسته ی  [0,1] را در نظر بگیرید.حال یک سوم میانی آن یعنی (1/2,2/3) را حذف کنید. پس الان دو بازه ی بسته داریم [0,1/3] و [2/3,1]. حال یک سوم میانی این دو بازه را هم حذف کنید. حاصل چهار بازه ی بسته ی [0,1/9] ، [2/9,1/3] ، [2/3,7/9] و
[8/9,1]
است. اگر روند حذف یک سوم های میانی را تا بینهایت ادامه دهیم به مجموعه ای می رسیم که مجموعه ی کانتور نامیده می شود و در سال 1883 توسط ریاضی دان آلمانی، جرج کانتور معرفی شد. این مجموعه دارای خواص عجیبیست که در ادامه به این خواص خواهیم پرداخت.

2- طول بازه هایی که حذف کرده ایم چقدر است؟ اول بازه ای بطول 1/3 را برداشتیم، بعد دو بازه بطول 1/9 ، سپس چهار بازه بطول 1/27 و به همین ترتیب در مرحله ی n ام
2^(n-1) بازه بطول 1/(3^n) را حذف کرده ایم. مجموع طول تمام بازه های حذف شده، یک سری هندسی با جمله ی اول 1/3 و قدرنسبت 2/3 می سازد پس طول بازه های حذف شده برابر است با جمله ی اول سری، تقسیم بر "یک منهای قدرنسبت" یعنی یک!!! یعنی ما از بازه ی [0,1] به اندازه کل طول آن، بازه حذف کرده ایم، اما هنوز نقاطی باقی مانده اند!!! نقاطی مثل صفر، یک، یک سوم، دو سوم و بطور کلی ابتدا و انتهای بازه های حذف شده،هیچ گاه حذف نمی شوند.

 

3- خاصیت عجیب تر آنکه، تعداد نقاط مجوعه ی کانتور دقیقا با تعداد نقاط بازه ی [0,1] مساویست!!! برای اثبات این مسئله باید تابعی یک به یک و پوشا بین نقاط مجموعه ی کانتور و بازه ی [0,1] بسازیم.برای این کار در هر مرحله از ساخت مجموعه ی کانتور عددی را به بازه های باقی مانده نسبت می دهیم. در مرحله ی اول به بازه ی [0,1/3] عدد 0.0 و به بازه ی  [2/3,1] عدد 0.2 را نسبت می دهیم. در مرحله ی بعد به [0,1/9] عدد 0.00 ، به [2/9,1/3] عدد 0.02، به [2/3,7/9] عدد 0.20 و به [8/9,1] عدد 0.22 را نظیر می کنیم.با ادامه ی این روند مجموعه ی کانتور شامل تمام اعداد به فرم
0.a-1 a-2 … a-n … است که a-n ها یا صفرند یا دو. حال اگر تمام اعداد بازه ی [0,1] را در مبنای دو نمایش دهیم، این بازه شامل تمام اعداد به فرم  0.a-1 a-2 … a-n … است که a-n ها یا صفرند یا یک. حال ساختن تابعی یک به یک و پوشایی که مجموعه ی کانتور و بازه ی [0,1] را به هم نظیر کند کار ساده ایست.

 

4- عجیبست!!! مجموعه ی کانتور، زیر مجموعه ی [0,1] است اما تعداد نقاطش با [0,1] برابر است!!! مشابه این موضوع را میتوان جاهای دیگر هم مشاهده کرد مثلا تعداد اعداد طبیعیN={1,2,…} با تعداد اعداد صحیح  Z={…,-2,-1, 0,1,2,…} برابر است!!! ظاهرا تعداد اعداد صحیح (بجز صفر) دو برابر تعداد اعداد طبیعی است چرا که به ازای هر عدد n در N اعداد n و –n در Z وجود دارند اما برابر بودن تعداد اعضا به معنای دقیق ریاضی، همان مسئله ی وجود تابع یک به یک و پوشا بین N و Z است. کافیست تابعی بسازیم که 1 را به 0،  2 را به 1،  3 را به -1،  4 را به 2،  5 را به -2 و ... و  2n را به n و 2n+1 را به –n نظیر کند. این تابع یک به یک و پوشاست پس تعداد اعداد صحیح (بجز صفر) برخلاف آنچه به نظر می رسد دو برابر اعداد طبیعی نیست. این خواص عجیب بخاطر اینست که تعداد اعضای این مجموعه ها(N و Z) متناهی نیست. وضعیت برای مجموعه ی کانتور و [0,1] هم مشابه است.

 

4- طول یک بازه ی دلخواه [a,b] برابر است با b-a . حال ببینیم طول مجموعه ی کانتور چقدر است. درمرحله ی اول ساخت آن، دو بازه ی [0,1/3] و [2/3,1] مجموعا دارای طول 2/3 هستند. در مرحله ی دوم، چهار بازه ی [0,1/9] ، [2/9,1/3] ، [2/3,7/9] و [8/9,1] روی هم رفته دارای طول 4/9 یا (2/3)^2 هستند و بطور کلی در مرحله n ام بازه های باقی مانده دارای طول (2/3)^n می باشند.چون مراحل ساخت مجموعه ی کانتور بینهایت بار است لذا طول مجموعه ی کانتور برابر است با 2/3 به توان بینهایت که چون 2/3 از یک کمتر است لذا به توان بینهایت برابر خواهد شد با صفر. پس طول مجموعه ی کانتور صفر است هر چند تعداد نقاطش با بازه ی [0,1] بطول یک، برابر می باشد!!!

 

5- مجموعه ی کانتور یک فراکتال است چرا که خاصیت اصلی فراکتال ها یعنی خود متشابهی را داراست پس طبیعتا همه ی خواص پیچیده و عجیب فراکتال ها را هم میتواند داشته باشد!!! (برای اطلاعات بیشتر در مورد فراکتال ها به اینجا مراجعه کنید)

 

6- اما سایر خواص این مجموعه ی عجیب که کمی تخصصی تر هستند و درکشان نیاز به پیش زمینه ی ریاضی بیشتری دارند.  متمم مجموعه ی کانتور، متشکلست از بینهایت مجموعه ی باز(همان مجموعه هایی که از [0,1] حذف کردیم) لذا متمم مجموعه ی کانتور مجموعه ایست باز، پس خود مجموعه ی کانتور بسته است. چون این مجموعه ی بسته، کراندار هم هست لذا در R فشرده است (طبق قضیه ی معروف هاینه بورل در آنالیز ریاضی) اما عجیبست که با وجود فشرده بودن هیچ جا چگال نیست اما در عین حال کامل (perfect) است!!! در واقع در بازه ای به شعاع اپسیلون (هر اپسیلون دلخواه) و مرکز x (عضوی از مجموعه ی کانتور) نقطه ای از مجموعه ی کانتور بجز x و همچنین نقطه ای خارج از مجموعه ی کانتور موجود است پس هر نقطه ی مجموعه ی کانتور تجمعی است اما هیچ نقطه ی آن درونی نیست. چون مجموعه ی کانتور بسته است و هر نقطه ی آن تجمعیست لذا کامل (perfect) است اما چون هیچ نقطه ی درونی ندارد، هیچ جا چگال نیست!!!

 

7- مجموعه کانتور نمونه ای از مجموعه های به ظاهر ساده اما پیچیده در دنیای ریاضیات است و نشان می دهد که درک شهودی چقدر میتواند در بررسی مسائل ناتوان باشد. آری در دنیای ریاضیات به چشمهایت هم نباید اطمینان کنی!!!

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ٢:٤۸ ‎ب.ظ روز جمعه ٢ اسفند ۱۳۸٧
تگ ها : ریاضیات