تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

یافتن ریشه ی توابع(2)

7- اما راههای پیدا کردن صفر توابع. در گذشته مثل امروز کامپیوتر و برنامه های محاسباتی قدرتمند مثل Matlab ،  Mathematica و  Mapleموجود نبود که فرمول پیچیده ترین توابع رو بهشون بدی و در کسری از ثانیه شکل تابع، مشتق و انتگرال تابع، صفرهای تابع و هر چیزی که لازم داری رو بگیری. یکی از مهم ترین مباحث در جبر که یکی از قدیمی ترین شاخه های ریاضیاته، همین پیدا کردن ریشه های حقیقی چند جمله ای ها (که نوع خاص و پرکاربردی از توابع هستند) بوده و هست. همه ی ما با فرمول معروفی که برای پیدا کردن ریشه های چند جمله ای درجه دو یعنی a x^2 + b x + c بکار میره، آشنا هستیم. این فرمول و فرمول هایی مشابه برای چند جمله ای های درجه ی سه و چهار، نتیجه ی سالها تلاش ریاضیدانان است. اما متاسفانه وقتی پای چند جمله ای های درجه بالا هم به میان میاد روشهای تئوری، عملا از حل مسئله عاجز می مانند چه برسه به وقتی که بخواهیم ریشه های تابعی دلخواه مثلا تابعی نمایی یا لگاریتمی یا مثلثاتی را پیدا کنیم. اینجا هم مثل بسیاری از جاهای دیگه، راه حل رو باید در روش های عددی جستجو کرد.

 

8- گام اول در یافتن ریشه های یک تابع به روش عددی اینست که مشخص کنیم تابع چند ریشه دارد و این ریشه ها در چه بازه ای قرار دارند. ساده ترین راه برای پیدا کردن تعداد و بازه ی ریشه ها، جدول بندی مقادیر تابع و کمک گرفتن از شکل تابع است. وقتی تابع در نقطه ی a مثبت باشد و در نقطه ی b منفی، طبیعتا ریشه ای در بازه (a,b) خواهد داشت. با چک کردن مقدار تابع در چند نقطه و استفاده از تکنیکهای مرسوم برای رسم تابع (مثل بررسی مشتق اول و دوم تابع برای مشخص کردن صعودی و نزولی بودن یا مقعر و محدب بودن تابع) تعداد و بازه ی ریشه ها مشخص می شود.

 

9- روش های گوناگونی برای یافتن ریشه ی توابع وجود دارد. این روش ها همگی تکرار شونده هستند یعنی شما با یک جواب اولیه ی تخمینی ( داخل بازه ای که برای ریشه یافته اید) شروع می کنید و در صورتی که روش دارای همگرایی تضمین شده باشد، بعد از هر بار تکرار، جواب دقیق تری بدست میارید. اگر همگرایی روش تضمین شده نباشد، همگرایی وابسته به نقطه ی شروع خواهد بود یعنی ممکنه برای یک جواب اولیه ی تخمینی، تکرارها به ریشه ی تابع همگرا بشن و برای دیگری خیر.

 

10-  یکی از ساده ترین روشها در یافتن صفر توابع، روش دو بخشی است که همگرایی تضمین شده دارد اما سرعت همگراییش پایین است و دارای مرتبه ی همگرایی یک است. روش دیگری که به ازای هر جواب اولیه ی تخمینی همگراست و سرعت همگرایی بالاتری دارد، روش نا به جاییست. جالب آنکه مرتبه ی همگرایی این روش برابر عدد طلایی (1.618) است. روش های رایج دیگر، روش تکرار ساده و نیوتن هستند که گرچه میتوانند سرعت بالایی داشته باشند اما همگرایی تضمین شده ندارد.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۱٠:۱٧ ‎ب.ظ روز سه‌شنبه ۱٧ دی ۱۳۸٧
تگ ها : ریاضیات

یافتن ریشه ی توابع(1)

1- یکی از بحث های قدیمی در ریاضیات ، پیدا کردن ریشه ی توابعه یعنی پیدا کردن نقاطی که به ازای اونها، مقدار تابع صفر میشه. اما صفر توابع چه خاصیتی داره که اون رو از سایر مقادیری که تابع میتونه بگیره، متمایز میکنه و چه راههای تئوری و عملی برای پیدا کردن ریشه ی یک تابع وجود داره؟

 

2- اجازه بدین بحث رو با یک مثال ساده شروع کنیم. یک شرکت اقتصادی رو در نظر بگیرید. وقتی سود دهی شرکت مثبته وضعیت نرمال و خوبه. وقتی سود دهی صفر میشه شرکت به حالت بحرانی درمیاد و در معرض ورشکستگی قرار می گیره و وقتی سود دهی منفی میشه، شرکت شروع به ضرر دادن می کنه و ورشکسته میشه. یک مثال آشناتر!!! وقتی یک دانش آموز در یک درس قبول میشه که نمرش بالای ده باشه (نمره منهای ده برزگتر از صفر) وقتی یک دانش آموز ناپلئونی و لب مرز درس رو پاس می کنه که نمرش ده بشه (نمره منهای ده مساوی صفر) و وقتی یک دانش آموز در درسی مردود میشه که نمرش زیر ده شده باشه (نمره منهای ده کمتر از صفر).

 

3- همونطور که واضحه در مثالهای اخیر، صفر نقشی حیاتی ایفا میکنه. وضعیت بالای صفر با وضعیت زیر صفر کاملا متفاوته!!! اوضاع خوب یک شرکت در برابر اوضاع بد یک شرکت. قبولی در یک درس در مقابل مردودی در درس. صفر دقیقا داره نقش مرز رو ایفا میکنه. این طرف مرز با اون طرف مرز خیلی فرق داره!!!

 

4- حالا بیاین همین مثالها رو در قالب ریاضی در نظر بگیریم. برای مثال اول،فرض کنید تابعی داشته باشیم که یک سری فاکتور رو به عنوان ورودی می گیره مثلا میزان دستمزد پرسنل، هزینه ی آب و برق و تلفن و امثالهم، هزینه ی مواد اولیه، قیمت فروش هر واحد ماده ی تولید شده و .... و میزان سود شرکت رو به عنوان خروجی میده. خب برای اینکه بفهمیم چه زمانی ممکنه شرکت در معرض ورشکستی قرار بگیره و از اون حالت دوری کنیم کافیه صفرهای تابع رو پیدا کنیم و ببینیم به ازای چه مقادیر ورودی، خروجی تابع صفر میشه.

 

5- مشابها فرض کنید برای یک دانش آموز تابعی داشته باشیم که میانگین تعداد ساعت مطالعه اون درس خاص در روز،میانگین تعداد تمرینات حل شده اون درس، میزان علاقه، میزان استعداد، میزان سخت گیری معلم و ... رو به عنوان ورودی بگیره و نمره ی دانش آموز رو محاسبه کنه و نمره محاسبه شده منهای ده رو به عنوان خروجی بده. برای اینکه بفهمیم دانش آموز در چه حالتی قبول میشه باز هم کافیه صفرهای تابع رو محاسبه کنیم و مثلا بفهمیم چه مقدار درس خوندن لازمه تا دانش آموز قبول شه!!!

 

6- خلاصه کنم، بطور کلی تابعf(x)  جاهایی که مثبته خاصیتی کاملا متفاوت با جاهایی که منفیه ارائه می کنه و مرز دقیقا جاییه که تابع صفر میشه و برای همینه که صفر توابع اهمیت پیدا میکنه. جاهایی هم که عددی بجز صفر نقش مرزی رو ایفا می کنه (مثل عدد ده در نمره ی دانش آموز) کافیه با یک تغییر متغیر، مسئله رو تبدیل کنیم به همون مسئله ی کلی پیدا کردن ریشه های تابع (عبارت "نمره منهای ده" که بارها در مثال دانش آموز تکرار شد همون تغییر متغیر انجام شدست)

 

ادامه دارد...

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ۳:۱۳ ‎ب.ظ روز دوشنبه ٢ دی ۱۳۸٧
تگ ها : ریاضیات