تجربه ریاضی

در این وبلاگ در مورد ریاضیات می نویسم و تجربیاتی که در راه آموختن ریاضی آموخته ام

تئوری آشوب به زبان ساده(۲)

۶- رفتارهای آشوب ناک هم در آزمایشگاه ها و هم در دنیای واقعی به وفور یافت میشوند.در آزمایشگاه ها سیستمهای مبتنی بر مدارهای الکتریکی، لیزر، واکنشهای شیمیایی،دینامیک سیالات و ابزارهای مکانیکی و الکترومغناطیسی همه و همه مواردی هستند که گاها پدیده ی آشوب درونشان مشاهده می شود.اما چند مثال از رخدادهای دنیای واقعی که پدیده ی آشوب در آنها میتواند پدیدار شود عبارتند از میدان مغناطیسی اجرام سماوی،ارتعاشات مولکولی،رشد جمعیت،آب و هوا،فرآیندهای زمین شناسی و دوره های اقتصادی.  

7- اولین کسی که با خاصیت آشوب برخورد کرد Hadamard بود.در سال 1898 وقتی وی داشت روی سیستمی مبتنی بر سر خوردن ذرات روی سطحی بدون اصطکاک و با خمیدگی ثابت کار میکرد پی برد که این سیستم نسبت به شرط اولیه بسیار حساس است.بعد از او پوانکاره بود که در سال 1900 وقتی داشت روی مسئله ی سه جرم(ماه،زمین و خورشید) کار میکرد متوجه شد که این مسئله توسط قوانین نیرو و حرکت نیوتن و قوانین کپلر قابل حل نیستند و یک مساله آشوبی است. مساله ی سه جرم به بررسی چگونگی رفتار،مسیرهای حرکت و سرعت حرکت اجرامی میپردازد که بطور متقابل بریکدیگر تاثیر میگذارند.(در مورد ماه،زمین و خورشید تاثیر متقابل همان نیروی گرانشی است) مطالعات بعدی در رابطه با نظریه ی آشوب تحت عناوین مرتبط با سیستمهای دینامیکی غیر خطی توسط دانشمندانی مثلBirkhoff Kolmogorov - Stephen Smale - Littlewood - Cartwright انجام گرفت که مطالعات تمامشان بجز Smaleمتاثر از مسائل فیزیکی بود. پس از سال 1950 توسعه ی نظریه آشوب سرعت بیشتری گرفت چرا که دانشمندان مشاهده کردند که تئوری خطی در بسیاری از موارد نمیتواند بسادگی رفتارهای مشاهده شده در آزمایشهای معین را توجیه کند. در کنار این مسئله ظهور کامپیوترها نیز کمک شایانی به رشد تئوری آشوب نمود چرا که بسیاری از مسائل تئوری آشوب درگیر تکرارهای بسیار زیاد فرمولهای ساده ی ریاضی میشد که محاسبه آنها بطور دستی غیرممکن بود ولی کامپیوتر بسادگی این محاسبات را انجام میداد. 

 8- یکی از پیشگامان نظریه ی آشوب و نخستین کسی که در مورد تئوری آشوب مقاله نوشته است ،هواشناس و ریاضیدان امریکایی و استاد دانشگاه MIT  ادوارد لورنتزمی باشد.وی روزی در سال 1961  هنگامی که در حال کار با کامپیوتری بود که برای بررسی مدلهای پیش بینی هوا بکار میرفت، بطور اتفاقی متوجه شد وقتی داده ها را با دقت 6 رقم اعشار به کامپیوتر می دهد نتیجه ای کاملا متفاوت با وقتی می گیرد که داده ها را با 3 رقم دقت اعشار وارد رایانه می کند.همین مسئله وی را کنکجاو به تحقیق در مورد این پدیده نمود.

9- داستان جالبی نیز در مورد حساسیت آب و هوا نسبت به شرایط اولیه وجود دارد.
تعدادی از دانشمندان هواشناسی مشغول مطالعه در مورد شرایط جوی و تاثیر موارد مختلف بر هوای جهان و منطقه داشتند.آنان به مدت یک سال مشغول مطالعه هوای یک منطقه خاص  دارای آب و هوای نسبتا بی تغییر و کاملا معتدل بودند و تمامی تغییرات را ثبت می کردند.یک دستگاه ثبت نمودار تغییرات جوی هر روز راس ساعت شش صبح روشن می شد و نمودار تغییرات را تا شش بعد از ظهر ثبت می کرد.اما در پاییز ناگهان نمودار این تغییرات به طرز عجیبی عوض شد.یعنی نموداری مغشوش به ثبت رسید که نشانه بروز تغییرات شدید جوی بود،اما آن چه به چشم دیده می شد هیچ تغییری مشاهده نمی کرد.دانشمندان شروع به مطالعه در این مورد کردند تا دلیل این تغییر را دریابند اما متوجه هیچ چیز نشدند.پس از پاییز همه چیز دوباره عادی شد.این امر آنان را بر آن داشت تا یک سال دیگر مطالعات خود را در آن محل ادامه دهند.در پاییز سال بعد آنها همه چیز را تحت نظر داشتند.در این سال نتیجه مشاهدات خود را پیدا کردند.در نزدیکی آن محل دریاچه ای بود که گروهی از پرندگان مهاجر در پاییز به آنجا می رفتند.آن چه باعث تغییر شدید در نمودار می شد همین پرندگان بودند.پرواز دسته جمعی این پرندگان باعث می شد تا حرکت بال های آنان فشاری بر جو بیاورد و این فشار به مولکول های کناری هوا منتقل می شد و نهایتا به سنسور ثبت نمودار دستگاه می رسید.یکی از دانشمندان کنجکاو در پی آن شد که متوجه شود اگر این پرندگان آنجا نبودند چه می شد.وی با استفاده از یک برنامه کامپیوتری موقعیت منطقه را شبیه سازی کرد و برنامه را یکبار با حضور پرندگان و یکبار بدون حضور آنان اجرا کرد.هنگامی که پرندگان وجود داشتند کامپیوتر شرایط را دقیقا همان طور که در واقعیت بود نشان داد.اما بدون حضور پرندگان طوفانی بزرگ در منطقه شکل می گرفت که باعث تخریب تقریبا 12 هکتار از آن منطقه می شد.در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می شد که شرایط شکل گیری این طوفان پیش نیایند!!!

10- پس از مطالعات جدی تر و عمیق تر و شبیه سازی جو جهان دانشمندان به نتیجه ای رسیدند که مهم ترین شعار نظریه آشوب نام گرفت " پروانه ای در آفریقا بال می زند و گردبادی در آمریکای جنوبی شکل می گیرد" عبارت اثر پروانه ای(
Butterfly effect) که اشاره به همین جمله دارد اولین بار توسط ادوارد لورنتز در مقاله ای بکار رفته است.

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ٩:٤٦ ‎ق.ظ روز سه‌شنبه ۳٠ بهمن ۱۳۸٦
تگ ها : ریاضیات

تئوری آشوب به زبان ساده(1)

1- تا چند دهه ی پیش دانشمندان جهان را مجموعه ای از سیستم هایی می دانستند که مطابق با قوانین جبری طبیعت به طریقی کاملا مشخص و قابل پیش بینی درحرکت است اما با پیشرفت علم  بسیاری از رویدادهای طبیعی دیگر قابل توجیه بوسیله ی دیدگاههای جبری گرایانه قبلی نبودند.تلاشهای دانشمندان برای توصیف چنین رویدادهایی منتج به نظریه های کوانتوم و نسبیت در فیزیک و نظریه ی آشوب(Chaos Theory) در ریاضیات شد.

۲- کِیاس
(
Chaos)
در لغت به معنی درهم ریختگی و آشوب است و معمولا در محاورات روزمره نشانه بی نظمی و سازمان نیافتگی می باشد و جنبه منفی دربردارد. اما با پیدایش نگرش علمی امروزه دیگر بی نظمی وآشوب به مفهوم سازمان نیافتگی،ناکارائی و درهم ریختگی تلقی نمی شود بلکه نوعی نظم دربی نظمی یا بی نظمی منظم در نظر گرفته میشود. انگاره اصلی و کلیدی تئوری آشوب همین عبارت نظم در بی نظمیست.به این معنا که نباید نظم را تنها در یک مقیاس جستجو کرد.پدیده ای که در مقیاس محلی، کاملا تصادفی و غیرقابل پیش بینی به نظر می رسد چه بسا در مقیاس بزرگتر، کاملا قابل پیش بینی باشد. 

3- در ریاضیات نظریه ی آشوب  به بررسی رفتار سیستمهای خاصی می پردازد که حساسیت زیادی نسبت به شرط اولیه خود دارند. نتیجه ی این حساسیت نسبت به شرط اولیه می تواند منجر به بروز رفتارهای بسیار پیچیده و تصادفی و غیر قابل پیش بینی شود.جالب اینجاست که این رفتار آشوب ناک حتی در سیستمهای معین (deterministic
) هم دیده میشود یعنی سیستمهایی که درگیر هیچ پارامتر یا ورودی تصادفی نیستند.

4- برای درک حساسیت نسبت به شرایط اولیه دانشجویی را در نظر بگیرید که اگر این ترم مشروط شود از دانشگاه اخراجش می کنند. حال این دانشجو در درسی که آزمون آن بصورت تستی برگزار میشود بواسطه ی تنها یک تست غلط نمره ای کسب می کند که در نتیجه آن معدلش از 12 کمتر می شود در صورتی اگر آن یک تست را درست می زد مشروط نمی شد!!! می بینید که تنها یک تست باعث اخراج او از دانشگاه و تغییر سرنوشت زندگی اش می شود!!!(اگر اینجا شرط اولیه را تعداد تستهای درست در آن درس خاص در نظر بگیرید مثالی از یک سیستم حساس به شرایط اولیه را شاهد خواهید بود) تا قبل توسعه ی نظریه آشوب در اکثر علوم برای یک پدیده، وزن یکسانی از نظر تاثیرگذاری عوامل درونی و بیرونی در نظر گرفته می شد، در حالی که تئوری آشوب، نقش کلیدی شرایط اولیه را مشخص نمود.
 

۵- اگر تغییر در شرط اولیه موجب تغییر اندکی در نتیجه شد گوییم رخداد نسبت به شرط اولیه پایدار است.در این حالت قرار دادن
مقدار تقریبی بجای مقدار واقعی مشکلی ایجاد نمیکند.مثلا میتوان بجای ۲√ از
1.14 استفاده کرد و هر چه دقت را بالاتر برد به جواب دقیق تری در محاسبات رسید اما بعضی رخداد ها آنقدر نسبت به شرط اولیه حساسند که حتی بکار بردن مقدار تقریبی۲√ با دقت سه رقم اعشار هم ممکن است منجر به نتیجه ای کاملا متفاوت با وقتی که ۲√ با دقت شش رقم اعشار بکار می رود شود. لذا حساسیت نسبت به شرط اولیه پیش بینی رفتار فرآیند را در زمانهای طولانی عملا غیر ممکن می کند.

ادامه دارد...

  
نویسنده : saeedtz ; ساعت ٩:٤٩ ‎ب.ظ روز جمعه ۱٢ بهمن ۱۳۸٦
تگ ها : ریاضیات